Fortsetzung von stetigen Abbildungen/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum und ${}T\subseteq M$ eine Teilmenge. Es sei

f\colon T\longrightarrow L

eine stetige Abbildung in einen weiteren metrischen Raum ${}L$ und es sei ${}T\subseteq {\tilde {T}}\subseteq M$ . Dann heißt eine Abbildung

{\tilde {f}}\colon {\tilde {T}}\longrightarrow L

eine stetige Fortsetzung von ${}f$ , wenn ${}{\tilde {f}}$ stetig ist und ${}{\tilde {f}}(x)=f(x)$ gilt für alle ${}x\in T$ .

Satz

Es seien ${}L$ und ${}M$ metrische Räume, ${}T\subseteq L$ eine Teilmenge und

f\colon T\longrightarrow M,\,x\longmapsto f(x),

eine stetige Abbildung. Es sei

{}T\subseteq {\tilde {T}}\subseteq {\overline {T}}\,

und für jedes ${}a\in {\tilde {T}}\setminus T$ existiere der Grenzwert ${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,f(x)$ .

Dann ist die durch

${}{\tilde {f}}(a):={\begin{cases}f(a)\,,{\text{ falls }}a\in T\,,\\\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,f(x),\,{\text{ falls }}a\in {\tilde {T}}\setminus T\,,\end{cases}}\,$

definierte Abbildung eine stetige Fortsetzung von ${}f$ auf ${}{\tilde {T}}$ .

Es sei ${}a\in {\tilde {T}}$ und ${}\epsilon >0$ vorgegeben. Da ${}a$ ein Berührpunkt von ${}T$ ist und da der Grenzwert von ${}f$ in ${}a$ existiert (bei ${}a\in T$ existiert er aufgrund der Stetigkeit), gibt es ein ${}\delta >0$ mit ${}d{\left(f(x),{\tilde {f}}(a)\right)}\leq \epsilon /2$ für alle ${}x\in T,\,d{\left(x,a\right)}\leq \delta$ . Es sei nun ${}y\in {\tilde {T}}$ mit ${}d{\left(y,a\right)}\leq \delta /2$ . Es gibt ein ${}x\in T$ mit ${}d{\left(x,y\right)}\leq \delta /2$ und mit ${}d{\left(f(x),{\tilde {f}}(y)\right)}\leq \epsilon /2$ . Wegen der ersten Abschätzung und der Voraussetzung an ${}y$ ist ${}d{\left(x,a\right)}\leq \delta$ . Insgesamt ist daher

{}d{\left({\tilde {f}}(a),{\tilde {f}}(y)\right)}\leq d{\left({\tilde {f}}(a),f(x)\right)}+d{\left(f(x),{\tilde {f}}(y)\right)}\leq \epsilon \,.

\Box

Satz

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum und ${}T\subseteq M$ eine Teilmenge mit dem Abschluss ${}{\overline {T}}$ . Es sei

f\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }

eine gleichmäßig stetige Abbildung.

Dann gibt es eine eindeutig bestimmte stetige Fortsetzung

${\tilde {f}}\colon {\overline {T}}\longrightarrow {\mathbb {K} }.$

Beweis

Aufgrund von Fakt genügt es zu zeigen, dass der Grenzwert ${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,f(x)$ für jedes ${}a\in {\overline {T}}\setminus T$ existiert. Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in ${}T$ , die gegen ${}a$ konvergiert. Wir zeigen, dass dann auch die Bildfolge ${}{\left(f(x_{n})\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergiert. Da diese Bildfolge in ${}{\mathbb {K} }$ ist, und ${}{\mathbb {K} }$ vollständig ist, genügt es zu zeigen, dass eine Cauchy-Folge vorliegt. Es sei ${}\epsilon >0$ vorgegeben. Wegen der gleichmäßigen Stetigkeit von ${}f$ gibt es ein ${}\delta >0$ derart, dass ${}d{\left(f(x),f(x')\right)}\leq \epsilon$ ist für alle ${}x,x'\in T$ mit

{}d{\left(x,x'\right)}\leq \delta \,.

Wegen der Konvergenz der Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gibt es ein ${}n_{0}$ mit ${}d{\left(x_{n},a\right)}\leq \delta /2$ für alle ${}n\geq n_{0}$ . Für alle ${}n,m\geq n_{0}$ gilt daher ${}d{\left(x_{n},x_{m}\right)}\leq \delta$ und somit insgesamt

{}d{\left(f(x_{n}),f(x_{m})\right)}\leq \epsilon \,.

Wir müssen nun noch zeigen, dass für jede gegen ${}a$ konvergente Folge der Grenzwert der Bildfolge gleich ist. Dies ergibt sich aber sofort, wenn man für zwei Folgen ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ die Folge ${}x_{0},y_{0},x_{1},y_{1},\ldots$ betrachtet, die ebenfalls gegen ${}a$ konvergiert, und für die der Limes der Bildfolge mit den Limiten der Teilbildfolgen übereinstimmt.