Fortsetzung von stetigen Abbildungen/Einführung/Textabschnitt
Definition
Es sei ein metrischer Raum und eine Teilmenge. Es sei
eine stetige Abbildung in einen weiteren metrischen Raum und es sei . Dann heißt eine Abbildung
eine stetige Fortsetzung von , wenn stetig ist und gilt für alle .
Satz
Es seien und metrische Räume, eine Teilmenge und
Dann ist die durch
definierte Abbildung eine stetige Fortsetzung von auf .
Beweis
Es sei und vorgegeben. Da ein Berührpunkt von ist und da der Grenzwert von in existiert (bei existiert er aufgrund der Stetigkeit), gibt es ein mit für alle . Es sei nun mit . Es gibt ein mit und mit . Wegen der ersten Abschätzung und der Voraussetzung an ist . Insgesamt ist daher
Satz
Es sei ein metrischer Raum und eine Teilmenge mit dem Abschluss . Es sei
eine gleichmäßig stetige Abbildung.
Dann gibt es eine eindeutig bestimmte stetige Fortsetzung
Beweis
Aufgrund von Fakt genügt es zu zeigen, dass der Grenzwert für jedes existiert. Es sei eine Folge in , die gegen konvergiert. Wir zeigen, dass dann auch die Bildfolge konvergiert. Da diese Bildfolge in ist, und vollständig ist, genügt es zu zeigen, dass eine Cauchy-Folge vorliegt. Es sei vorgegeben. Wegen der gleichmäßigen Stetigkeit von gibt es ein derart, dass ist für alle mit
Wegen der Konvergenz der Folge gibt es ein mit für alle . Für alle gilt daher und somit insgesamt
Wir müssen nun noch zeigen, dass für jede gegen konvergente Folge der Grenzwert der Bildfolge gleich ist. Dies ergibt sich aber sofort, wenn man für zwei Folgen
und
die Folge betrachtet, die ebenfalls gegen konvergiert, und für die der Limes der Bildfolge mit den Limiten der Teilbildfolgen übereinstimmt.