Die Funktionen sind linear unabhängig. Wenn nämlich eine lineare Abhängigkeit vorliegen würde, so gelte
-
![{\displaystyle {}af+bg+ch=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab14017edefb23ed0cff4dd4e1ab2e9b9e0f35eb)
mit
, nicht alle
. Dies gilt dann auch an jeder Stelle
. Wir betrachten die Stellen
-
![{\displaystyle {}P=0,{\frac {\pi }{2}},\pi \,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1bd6578ef2738b064eeaf31b94e4a9569f90d599)
Die Werte der drei Funktionen an diesen Stellen sind
![{\displaystyle {}P}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4d223112a325f739e215e40c8e1086ac45af26e) |
![{\displaystyle {}f(P)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9cfb36c4280025c09f1b19ad7f9fe3cda67a1338) |
![{\displaystyle {}g(P)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a58ca7bee10989ef91667e29b1ee8159818705d2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Die angenommene lineare Abhängigkeit bedeutet somit, dass die Spalten der Matrix
-
linear abhängig sind und ihre Determinante
![{\displaystyle {}0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5428e3b06006771c083bd17ed8fce8f3be334b2)
sein muss. Die Entwicklung nach der ersten Zeile zeigt aber, dass die Determinante den Wert
![{\displaystyle {}-\pi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3080c2a3379f44a9608facaa9b85c98f8c34659)
hat.