Gaußsche Zahlen/Euklidischer Algorithmus/5+2i und 3+7i/Aufgabe/Lösung

Wir setzen ${}a=5+2{\mathrm {i} }$ und ${}b=3+7{\mathrm {i} }$ und führen die Division mit Rest ${}a$ durch ${}b$ durch. Es ist (in ${}{\mathbb {C} }$)

${}{\frac {a}{b}}={\frac {5+2{\mathrm {i} }}{3+7{\mathrm {i} }}}={\frac {(5+2{\mathrm {i} })(3-7{\mathrm {i} })}{(3+7{\mathrm {i} })(3-7{\mathrm {i} })}}={\frac {29-29{\mathrm {i} }}{58}}={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}{\mathrm {i} }\,.$

Für diese Zahl ist ${}0$ eine beste ganzzahlige Approximation, wir nehmen also ${}q=0$ und erhalten ${}a=0b+a$. Wir drehen also die Sache um und erhalten

${}{\frac {b}{a}}={\frac {3+7{\mathrm {i} }}{5+2{\mathrm {i} }}}={\frac {(3+7{\mathrm {i} })(5-2{\mathrm {i} })}{(5+2{\mathrm {i} })(5-2{\mathrm {i} })}}={\frac {29+29{\mathrm {i} }}{29}}=1+{\mathrm {i} }\,.$

Das Ergebnis ist also eine ganze Gaußsche Zahl, und ${}a$ teilt daher ${}b$. Also ist ${}a=5+2{\mathrm {i} }$ der größte gemeinsame Teiler.

Zur gelösten Aufgabe