Graduierte Körpererweiterung/Charaktere und ihre homogenen Automorphismen/Textabschnitt

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}D$ eine kommutative Gruppe und ${}A$ eine ${}D$-graduierte kommutative ${}K$-Algebra.

Dann gibt es einen Gruppenhomomorphismus

$D^{\vee }=\operatorname {Char} \,(D,K)\longrightarrow \operatorname {Aut} _{K}^{}{\left(A\right)},\,\chi \longmapsto (a_{d}\mapsto \chi (d)a_{d}),$

der Charaktergruppe von ${}D$ in die (homogene) ${}K$-Automorphismengruppe von ${}A$.

Wenn alle ${}A_{d}\neq 0$ sind, so ist diese Zuordnung injektiv.

Beweis

Zu jedem Charakter

$\chi \colon D\longrightarrow K^{\times }$

ist die durch

${}\varphi _{\chi }{\left(\sum _{d\in D}a_{d}\right)}=\sum _{d\in D}\chi (d)\cdot a_{d}$ definierte Abbildung ${}\varphi _{\chi }$ mit der Addition verträglich. Die Verträglichkeit mit der Multiplikation folgt für homogene Elemente ${}a_{d}\in A_{d}$ und ${}a_{e}\in A_{e}$ aus

${}\varphi _{\chi }(a_{d}\cdot a_{e})=\chi (d+e)a_{d}\cdot a_{e}=\chi (d)\cdot \chi (e)a_{d}\cdot a_{e}=\varphi _{\chi }(a_{d})\cdot \varphi _{\chi }(a_{e})\,,$

woraus sich aufgrund des Distributivgesetzes auch der allgemeine Fall ergibt. Für ${}a\in A_{0}$ (und insbesondere für ${}a\in K$) ist ferner ${}\varphi _{\chi }(a)=\chi (0)a=a$, so dass ein ${}K$-Algebrahomomorphismus vorliegt.
Der triviale (konstante) Charakter geht bei dieser Zuordnung auf die Identität. Es seien nun zwei Charaktere ${}\chi _{1},\chi _{2}\in \operatorname {Char} \,(D,K)$ gegeben. Für ein homogenes Element ${}a_{d}\in A_{d}$ ist

${}{\begin{aligned}\varphi _{\chi _{1}\cdot \chi _{2}}(a_{d})&={\left(\chi _{1}\cdot \chi _{2}\right)}(d)\cdot a_{d}\\&=\chi _{1}(d)\cdot \chi _{2}(d)\cdot a_{d}\\&=\chi _{1}(d)\cdot \varphi _{\chi _{2}}(a_{d})\\&=\varphi _{\chi _{1}}{\left(\varphi _{\chi _{2}}(a_{d})\right)}\\&={\left(\varphi _{\chi _{1}}\circ \varphi _{\chi _{2}}\right)}(a_{d}),\end{aligned}}$

so dass die Gesamtzuordnung mit den Verknüpfungen verträglich ist. Daher gilt auch

${}\varphi _{\chi }\circ \varphi _{\chi ^{-1}}=\varphi _{\chi \circ \chi ^{-1}}=\varphi _{1}=\operatorname {Id} _{A}\,,$

so dass jedes ${}\varphi _{\chi }$ ein ${}K$-Algebraautomorphismus und die Gesamtzuordnung ein Gruppenhomomorphismus ist.
Die Injektivität ergibt sich unter Verwendung von Fakt folgendermaßen. Bei ${}\chi \neq 1$ gibt es ein ${}d\in D$ mit ${}\chi (d)\neq 1$. Nach Voraussetzung ist

${}A_{d}\neq 0\,,$

sei also ${}a\in A_{d}$, ${}a\neq 0$. Damit ist ${}\varphi _{\chi }(a)=\chi (d)a\neq a$, da ${}\chi (d)-1$ eine Einheit ist. Also ist ${}\varphi _{\chi }\neq \operatorname {Id} _{A}$.

$\Box$

Beispiel

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}a\in K$ und ${}n\in \mathbb {N}$ derart, dass ${}X^{n}-a$ irreduzibel ist. Dann ist ${}K\subseteq K[X]/(X^{n}-a)$ nach Fakt und nach Fakt eine ${}\mathbb {Z} /(n)$-graduierte Körpererweiterung.

Eine notwendige Voraussetzung für die Irreduzibilität von ${}X^{n}-a$ ist, dass ${}a$ in ${}K$ keine ${}n$-te Wurzel besitzt, da sonst das Polynom sofort einen Linearfaktor besitzt. Bei ${}n=2$ oder ${}n=3$ ist diese Bedingung auch hinreichend. Bei ${}n=2$ und wenn die Charakteristik von ${}K$ nicht gleich ${}2$ ist, so ist ${}1\neq -1$ und der nichttriviale Charakter

$\chi \colon D=\mathbb {Z} /(2)\longrightarrow K^{\times }$

mit ${}\chi (0)=1$ und ${}\chi (1)=-1$ definiert über Fakt den nichttrivialen ${}K$-Körperautomorphismus mit ${}x\mapsto -x$ (wobei ${}x$ die Restklasse von ${}X$ sei), also die Konjugation in der quadratischen Körpererweiterung ${}K\subseteq K[X]/(X^{2}-a)$.

Beispiel

Die ${}\mathbb {Q}$-Algebra ${}\mathbb {Q} [X]/(X^{4}+4)$ ist eine ${}\mathbb {Z} /(4)$-graduierte ${}\mathbb {Q}$-Algebra. Das Polynom ${}X^{4}+4$ besitzt keine Nullstelle in ${}\mathbb {Q}$, es ist aber nicht irreduzibel, wie die Zerlegung

${}X^{4}+4=(X^{2}-2X+2)(X^{2}+2X+2)\,$

zeigt. Es liegt also keine graduierte Körpererweiterung vor.

Beispiel

Wir betrachten den von ${}{\sqrt {2}}$ und ${}{\sqrt {3}}$ erzeugten Unterkörper ${}L=\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})=\mathbb {Q} [{\sqrt {2}},{\sqrt {3}}]$ von ${}{\mathbb {C} }$ (oder von ${}\mathbb {R}$). Die Elemente ${}1,{\sqrt {2}},{\sqrt {3}},{\sqrt {6}}$ bilden dabei unmittelbar ein ${}\mathbb {Q}$-Erzeugendensystem und sogar eine Basis, da man andernfalls ${}{\sqrt {3}}$ als rationale Linearkombination von ${}1$ und ${}{\sqrt {2}}$ ausdrücken könnte. Damit liegt insgesamt eine Körpererweiterung vom Grad vier vor. Sei ${}D=\mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(2)$. Wir setzen

$L_{(0,0)}=\mathbb {Q} ,\,L_{(1,0)}=\mathbb {Q} \cdot {\sqrt {2}},\,L_{(0,1)}=\mathbb {Q} \cdot {\sqrt {3}}\,,L_{(1,1)}=\mathbb {Q} \cdot {\sqrt {6}},$

und erhalten dadurch eine ${}D$-graduierte Körpererweiterung von ${}\mathbb {Q}$.

Beispiel

Wir betrachten die Körpererweiterung

${}\mathbb {Q} \subseteq L:=\mathbb {Q} [{\mathrm {i} },{\sqrt {2}}]\,$

in ${}{\mathbb {C} }$. Diese besitzt eine ${}D=\mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(2)$-Graduierung, bei der ${}1,{\mathrm {i} },{\sqrt {2}},{\mathrm {i} }{\sqrt {2}}$ eine homogene Basis bilden. Das (in dieser Graduierung nicht homogene) Element ${}\zeta _{8}={\frac {1}{2}}{\left({\sqrt {2}}+{\sqrt {2}}{\mathrm {i} }\right)}$ ist eine ${}8$-te primitive Einheitswurzel und wegen ${}\zeta ^{2}={\mathrm {i} }$ ist ${}L=\mathbb {Q} (\zeta _{8})$ der achte Kreisteilungskörper. Das Minimalpolynom zu ${}\zeta _{8}$ ist ${}X^{4}+1$, so dass man auch ${}L\cong \mathbb {Q} [X]/(X^{4}+1)$ schreiben kann. Dies zeigt, dass ${}L$ auch eine ${}\mathbb {Z} /(4)$-graduierte Körpererweiterung von ${}\mathbb {Q}$ ist, bei der ${}\zeta _{8}$ homogen ist.