Gruppenisomorphismus/Reelle Exponentialfunktion als Beispiel/Beispiel

Betrachte die additive Gruppe der reellen Zahlen, also ${}(\mathbb {R} ,0,+)$, und die multiplikative Gruppe der positiven reellen Zahlen, also ${}(\mathbb {R} _{+},1,\cdot )$. Dann ist die Exponentialabbildung

$\exp \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} _{+},\,x\longmapsto \exp(x),$

ein Gruppenisomorphismus. Dies beruht auf grundlegenden analytischen Eigenschaften der Exponentialfunktion. Die Homomorphieeigenschaft ist lediglich eine Umformulierung der Funktionalgleichung der Exponentialfunktion

${}\exp(x+y)=e^{x+y}=e^{x}e^{y}=\exp(x)\exp(y)\,.$

Die Injektivität der Abbildung folgt aus der strengen Monotonie, die Surjektivität folgt aus dem Zwischenwertsatz. Die Umkehrabbildung ist der natürliche Logarithmus, der somit ebenfalls ein Gruppenisomorphismus ist.