Gruppentheorie/Elementordnung vom Produkt/Fakt mit Beweisklappe

Lemma

Es sei ${}G$ eine kommutative Gruppe und ${}x,y\in G$ Elemente der endlichen Ordnungen ${}n=\operatorname {ord} \,(x)$ und ${}m=\operatorname {ord} \,(y)$, wobei ${}n$ und ${}m$ teilerfremd seien.

Dann hat ${}xy$ die Ordnung ${}nm$.

Beweis

Sei ${}(xy)^{k}=1$. Wir haben zu zeigen, dass ${}k$ ein Vielfaches von ${}nm$ ist. Es ist

${}1={\left(x^{k}y^{k}\right)}^{n}=x^{kn}y^{kn}=y^{kn}\,,$

da ja ${}n$ die Ordnung von ${}x$ ist. Aus dieser Gleichung erhält man, dass ${}kn$ ein Vielfaches der Ordnung von ${}y$, also von ${}m$ sein muss. Da ${}n$ und ${}m$ teilerfremd sind, folgt aus Fakt, dass ${}k$ ein Vielfaches von ${}m$ ist. Ebenso ergibt sich, dass ${}k$ ein Vielfaches von ${}n$ ist, so dass ${}k$, wieder aufgrund der Teilerfremdheit, ein Vielfaches von ${}nm$ sein muss.

$\Box$