Integration rationaler Funktionen/Textabschnitt

Verfahren  

Es sei eine rationale Funktion

${}f={\frac {P}{Q}}\,$

gegeben, für die eine Stammfunktion gefunden werden soll. Dabei seien ${}P$ und ${}Q$ reelle Polynome. Man geht folgendermaßen vor.

1. Bestimme die reelle Faktorzerlegung des Nennerpolynoms ${}Q$.
2. Finde die Partialbruchzerlegung

   ${}{\frac {P}{Q}}=H+\sum _{i=1}^{r}{\left(\sum _{j=1}^{s_{i}}{\frac {c_{ij}}{(X-a_{i})^{j}}}\right)}+\sum _{k=1}^{u}{\left(\sum _{\ell =1}^{t_{k}}{\frac {d_{k{\ell }}X+e_{k{\ell }}}{Q_{k}^{\ell }}}\right)}\,.$

3. Bestimme für ${}H$, für jedes

   ${\frac {c_{ij}}{(X-a_{i})^{j}}}$

   und für jedes

   ${\frac {d_{k{\ell }}X+e_{k{\ell }}}{Q_{k}^{\ell }}}$

   eine Stammfunktion.

Beispiel

Wir möchten eine Stammfunktion zu

${}f(x)={\frac {1}{x^{3}-1}}\,$

bestimmen. Nach Beispiel ist die reelle Partialbruchzerlegung gleich

${}{\begin{aligned}{\frac {1}{x^{3}-1}}&={\frac {1}{3}}\cdot {\frac {1}{x-1}}-{\frac {1}{3}}\cdot {\frac {x+2}{x^{2}+x+1}}\\&={\frac {1}{3}}\cdot {\frac {1}{x-1}}-{\frac {1}{6}}\cdot {\frac {2x+4}{x^{2}+x+1}}\\&={\frac {1}{3}}\cdot {\frac {1}{x-1}}-{\frac {1}{6}}\cdot {\frac {2x+1}{x^{2}+x+1}}-{\frac {1}{6}}\cdot {\frac {3}{x^{2}+x+1}}\\&={\frac {1}{3}}\cdot {\frac {1}{x-1}}-{\frac {1}{6}}\cdot {\frac {2x+1}{x^{2}+x+1}}-{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{x^{2}+x+1}}.\end{aligned}}$

Als Stammfunktion ergibt sich daher

${\frac {1}{3}}\ln \vert {x-1}\vert -{\frac {1}{6}}\cdot \ln \left(x^{2}+x+1\right)-{\frac {1}{\sqrt {3}}}\cdot \arctan {\frac {2}{\sqrt {3}}}{\left(x+{\frac {1}{2}}\right)},$

wobei wir für den rechten Summanden Fakt verwendet haben.

Beispiel

Wir möchten eine Stammfunktion zu

${}f(x)={\frac {x^{3}-x+5}{x^{4}+x^{2}}}\,$

bestimmen. Nach Beispiel ist die reelle Partialbruchzerlegung gleich

${}{\frac {x^{3}-x+5}{x^{2}(x^{2}+1)}}=-{\frac {1}{x}}+{\frac {5}{x^{2}}}+{\frac {2x-5}{x^{2}+1}}\,.$

Als Stammfunktion ergibt sich daher

$-\ln \vert {x}\vert -5x^{-1}+\ln \left(x^{2}+1\right)-5\arctan x.$