K-Spektrum/Algebraisch abgeschlossener Körper/Verschiedene rationale Darstellungen einer aIgebraischen Funktion/Beziehung im Koordinatenring/Fakt

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, ${}R$ eine ${}K$- Algebra von endlichem Typ und sei ${}V=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ ${}V$ das ${}K$-Spektrum von ${}R$. Es sei ${}U\subseteq V$ eine Zariski-offene Menge, ${}P\in U$ ein Punkt und es sei ${}f\colon U\rightarrow K$ eine algebraische Funktion, für die es die beiden rationalen Darstellungen

${\frac {G_{1}}{H_{1}}}{\text{ und }}{\frac {G_{2}}{H_{2}}}$

gebe mit ${}G_{1},H_{1},G_{2},H_{2}\in R$ und mit ${}P\in D(H_{1}),D(H_{2})\subseteq U$.

Dann gibt es ein ${}r\in \mathbb {N}$ mit

$H_{1}^{r}H_{2}^{r}(G_{1}H_{2}-G_{2}H_{1})^{r}=0{\text{ in }}R.$

Ist ${}R$ reduziert, so gilt sogar

${}H_{1}H_{2}(G_{1}H_{2}-G_{2}H_{1})=0\,.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen