K-Spektrum/Irreduzible Filter, Primideale, irreduzible Teilmengen/Fakt

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei ${}R$ eine kommutative ${}K$-Algebra von endlichem Typ mit ${}K$-Spektrum ${}X=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$.

Dann entsprechen sich folgende Objekte.

1. Primideale in ${}R$.
2. Irreduzible abgeschlossene Teilmengen von ${}X$.
3. Irreduzible Filter in ${}X$.

Dabei entspricht der irreduziblen abgeschlossenen Teilmenge ${}Y\subseteq X$ der Filter

${}F(Y)={\left\{U\subseteq X\mid U\cap Y\neq \emptyset \right\}}\,.$

Der Halm der Strukturgarbe an diesem Filter ist die Lokalisierung ${}R_{\mathfrak {p}}$, wobei ${}{\mathfrak {p}}$ das zugehörige Primideal bezeichnet.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen