Körpererweiterung/Separabler Abschluss/Elementare Eigenschaften/Fakt

Es sei ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung und es sei ${}S$, ${}K\subseteq S\subseteq L$, der separable Abschluss von ${}K$ in ${}L$. Dann gelten folgende Aussagen.

1. ${}S$ ist ein Körper.
2. Die Körpererweiterung ${}K\subseteq S$ ist separabel.
3. Die über ${}K$ algebraischen Elemente aus ${}L$ sind rein-inseparabel über ${}S$.
4. Der separable Abschluss von ${}S$ in ${}L$ ist gleich ${}S$.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen