Körpererweiterung/Separabler Abschluss/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung. Unter dem separablen Abschluss (von ${}K$ in ${}L$) versteht man die Teilmenge ${}S\subseteq L$, die aus allen über ${}K$ separablen Elementen aus ${}L$ besteht.

Lemma

Es sei ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung und es sei ${}S$, ${}K\subseteq S\subseteq L$, der separable Abschluss von ${}K$ in ${}L$. Dann gelten folgende Aussagen.

1. ${}S$ ist ein Körper.
2. Die Körpererweiterung ${}K\subseteq S$ ist separabel.
3. Die über ${}K$ algebraischen Elemente aus ${}L$ sind rein-inseparabel über ${}S$.
4. Der separable Abschluss von ${}S$ in ${}L$ ist gleich ${}S$.

Beweis

(1). Für zwei Elemente ${}x,y\in S$ ist ${}K[x,y]\,\,(\subseteq L)$ eine nach Fakt über ${}K$ endliche und nach Fakt separable Körpererweiterung. Also ist ${}K[x,y]\subseteq S$ und ${}S$ ist ein Unterring. Für ${}x\neq 0$ ist auch ${}x^{-1}\in K[x,y]$, sodass ein Körper vorliegt.
(2) ist klar.
(3). Es sei ${}x\in L$ algebraisch über ${}K$ und sei ${}F$ das Minimalpolynom. Die Charakteristik von ${}K$ sei ${}p>0$, andernfalls ist die Aussage klar. Nach Fakt besitzt ${}F$ die Gestalt

${}F=G(X^{q})\,$

mit ${}q=p^{e}$ und einem irreduziblen separablen Polynom ${}G\in K[X]$. Für

${}y=x^{q}\,$

ist ${}G$ ein separables annullierendes Polynom, sodass ${}y\in S$ ist. Daher ist ${}x$ nach Fakt rein-inseparabel über ${}S$ ist.
(4) folgt aus (3).

$\Box$