Klassische lineare Gruppe/C/Kompakte Untergruppe Zariski dicht/Fakt/Beweis

Beweis

Wir skizzieren einen Beweis für die allgemeine lineare Gruppe ${}\operatorname {GL} _{n}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}$. Sie enthält die unitäre Gruppe ${}\operatorname {U} _{n}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}$ als Untergruppe, die nach Aufgabe kompakt ist. Für ${}n=1$ ist beispielsweise ${}\operatorname {GL} _{1}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}\cong {\mathbb {C} }^{\times }$ und ${}\operatorname {U} _{1}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}\cong S^{1}$, die ${}S^{1}$ ist eine kompakte Gruppe, deren Zariski-Abschluss ganz ${}{\mathbb {C} }^{\times }$ ist, da ein Polynom, das auf ${}S^{1}$ verschwindet, das Nullpolynom sein muss. Bei größerem ${}n$ ist die Argumentation deutlich komplizierter.

Wir benutzen die Exponentialabbildung für Matrizen, also die Abbildung

$\exp \colon \operatorname {Mat} _{n}({\mathbb {C} })\longrightarrow \operatorname {GL} _{n}\!{\left({\mathbb {C} }\right)},\,A\longmapsto \exp A:=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}A^{k}=E_{n}+A+{\frac {1}{2}}A^{2}+{\frac {1}{6}}A^{3}+\ldots .$

Dabei bedeutet ${}A^{n}$ die ${}n$-te Potenz der Matrix bezüglich der Matrizenmultiplikation. Man kann zeigen, dass die definierende Reihe gegen eine invertierbare Matrix konvergiert, sodass die Abbildung wohldefiniert ist und dass sie analytisch ist, also in jeder Koordinaten durch eine Potenzreihe in ${}n^{2}$ vielen komplexen Variablen gegeben ist. Insbesondere ist die Abbildung komplex-differenzierbar. Ferner ist die Exponentialabbildung surjektiv.

Wir betrachten nun den Untervektorraum der schiefhermiteschen Matrizen, das sind diejenigen Matrizen ${}A=(w_{jk})_{1\leq j,k\leq n}$ mit ${}w_{kj}=-{\overline {w_{jk}}}$. Das sind diejenigen Matrizen, die für beliebige Vektoren ${}x,y\in {\mathbb {C} }$ die Bedingung

${}\left\langle Ax,y\right\rangle =-\left\langle x,Ay\right\rangle \,$

für das Standardskalarprodukt erfüllen. Wir behaupten, dass die schiefhermiteschen Matrizen unter der Exponentialabbildung auf unitäre Matrizen abgebildet werden. Es sei also ${}A$ eine schiefhermitesche Matrix. Aufgrund der eben formulierten Eigenschaft gilt für eine beliebige quadratische Matrix ${}B$ und Vektoren ${}u,v\in {\mathbb {C} }^{n}$ die Gleichheit

${}\left\langle ABu,Bv\right\rangle =-\left\langle Bu,ABv\right\rangle \,.$

Für ${}B=\exp \left(tA\right)$ mit einem beliebigen (reellen oder komplexen Parameter) ${}t$ ergibt dies

$\left\langle A\exp \left(tA\right)u,\exp \left(tA\right)v\right\rangle +\left\langle \exp \left(tA\right)u,A\exp \left(tA\right)v\right\rangle =0\,.$

Dieser Ausdruck ist aber die Ableitung der Abbildung

$\mathbb {R} \longrightarrow {\mathbb {C} },\,t\longmapsto \left\langle \exp \left(tA\right)u,\exp \left(tA\right)v\right\rangle ,$

was man sieht, wenn man diese Abbildung als Hintereinanderschaltung

$\mathbb {R} \longrightarrow \operatorname {Mat} _{n}({\mathbb {C} })\longrightarrow {\mathbb {C} }^{n}\times {\mathbb {C} }^{n}\longrightarrow {\mathbb {C} }$

mit

$t\longmapsto \exp \left(tA\right),\,C\longmapsto (Cu,Cv),\,{\text{ und }}(w,z)\longmapsto \left\langle w,z\right\rangle$

schreibt. Daher ist ${}\left\langle \exp \left(tA\right)u,\exp \left(tA\right)v\right\rangle$ unabhängig von ${}t$ und somit gleich ${}\left\langle u,v\right\rangle$, da dies der Wert für ${}t=0$ ist. Also ist ${}\exp \left(tA\right)$ eine Isometrie für jedes ${}t$ und insbesondere ist ${}\exp \left(A\right)$ eine Isometrie, also eine unitäre Matrix.

Wir müssen jetzt zeigen, dass der Zariski-Abschluss der unitären Gruppe gleich der allgemeinen lineare Gruppe ist. Dazu sei ${}f\in {\mathbb {C} }[X_{ij}]$ ein Polynom in ${}n^{2}$ Variablen, das auf der unitären Gruppe verschwindet. Es ist ${}f=0$ zu zeigen. Wir betrachten die Verknüpfung ${}g=f\circ \exp$, die eine holomorphe Funktion auf ${}\operatorname {Mat} _{n}({\mathbb {C} })\cong {\mathbb {C} }^{n^{2}}$ ist. Wegen der erwähnten Surjektivität der Exponentialfunktion genügt es zu zeigen, dass ${}g=0$ ist. Nach der Vorüberlegung verschwindet ${}g$ auf dem reellen Untervektorraum der schiefhermiteschen Matrizen. Daher verschwindet auch die Ableitung ${}g'(P)$ auf diesem Untervektorraum für jeden Punkt ${}P$. Wir betrachten daher zuerst den Fall einer komplexen Linearform ${}L$ auf ${}\operatorname {Mat} _{n}({\mathbb {C} })$, die auf den schiefhermiteschen Matrizen verschwindet. Wir ersetzen die Variablen ${}W_{ij}$ von ${}\operatorname {Mat} _{n}({\mathbb {C} })$ durch ${}W_{jj},W_{jk}-W_{kj},W_{jk}+W_{kj}$ ($j\neq k$). Die Bedingung schiefhermitesch bedeutet in diesen Variablen, dass die Imaginärteile von ${}W_{jk}-W_{kj}$ und dass die Realteile von ${}W_{jj},W_{jk}+W_{kj}$ gleich ${}0$ sind. Der Kern von ${}L$ enthält also zu jedem Element ${}u$ der transformierten Basis eine volle reelle Gerade ${}\mathbb {R} u$ und damit muss überhaupt ${}u$ zum Kern gehören, d.h. ${}L=0$. Dies bedeutet wiederum, dass ${}g'(P)=0$ und daher ist ${}g$ konstant, also ${}g=0$.

Zur bewiesenen Aussage