Kommutative Algebra/Modultheorie/Wohldefiniertheit des Ranges/Fakt/Beweis

Beweis

Da ${}R$ ein kommutativer Ring ist, gibt es nach Fakt ein maximales Ideal ${}{\mathfrak {a}}$ in ${}R$. Dementsprechend ist der Restklassenring ${}R/{\mathfrak {a}}$ nach Fakt ein Körper. Der Untermodul ${}M/{\mathfrak {a}}M$ wird dann zu einem ${}R/{\mathfrak {a}}$-Vektorraum.

${}M$ hat als ${}R$-Modul die Basis ${}{\mathfrak {v}}$, also ${}M=\bigoplus _{v\in {\mathfrak {v}}}Rv$. Dementsprechend ist ${}{\mathfrak {a}}M=\bigoplus _{v\in {\mathfrak {v}}}{\mathfrak {a}}v$.

Hieraus folgt die Isomorphie

${}{\begin{aligned}M/{\mathfrak {a}}M&={\left(\bigoplus _{v\in {\mathfrak {v}}}Rv\right)/\left(\bigoplus _{v\in {\mathfrak {v}}}{\mathfrak {a}}v\right)}\\&\cong \bigoplus _{v\in {\mathfrak {v}}}{\left(Rv\right)}/{\left({\mathfrak {a}}v\right)}\\&\cong \bigoplus _{v\in {\mathfrak {v}}}R/{\mathfrak {a}}\end{aligned}}$

Somit hat ${}M/{\mathfrak {a}}M$ als ${}R/{\mathfrak {a}}$-Vektorraum eine Basis der Mächtigkeit von ${}{\mathfrak {v}}$.

Da wir für Vektorräume wissen, dass je zwei Basen gleiche Kardinalität haben, folgt die Aussage.

Zur bewiesenen Aussage