Kommutative Monoidringe/Laurentring als Monoidring (mehrere Variablen)/Beispiel

Es sei ${}n$ eine natürliche Zahl und ${}M=\mathbb {Z} ^{n}$ das ${}n$-fache direkte Produkt der ganzen Zahlen. ${}M$ ist also die freie kommutative Gruppe vom Rang ${}n$. Jedes Element ${}k\in \mathbb {Z} ^{n}$ ist ein ${}n$-Tupel ${}(k_{1},\ldots ,k_{n})$ mit ${}k_{i}\in \mathbb {Z}$. Dies kann man auch als

${}(k_{1},\ldots ,k_{n})=k_{1}(1,0,0,\ldots ,0)+k_{2}(0,1,0,\ldots ,0)+\ldots +k_{n}(0,0,0,\ldots ,1)\,$

schreiben und das zugehörige Monom ${}X^{k}$ kann man eindeutig als

${}X^{k}=X_{1}^{k_{1}}X_{2}^{k_{2}}\cdots X_{n}^{k_{n}}\,$

mit ${}k_{i}\in \mathbb {Z}$ schreiben, wobei wir wieder ${}X_{i}=X^{e_{i}}$ geschrieben haben. Für diesen Monoidring schreibt man auch

${}R[M]=R[X_{1},\ldots ,X_{n},X_{1}^{-1},\ldots ,X_{n}^{-1}]\,,$

und dieser ist isomorph zur Nenneraufnahme des Polynomringes am Produkt der Variablen, also

${}R[M]=R[X_{1},\ldots ,X_{n},X_{1}^{-1},\ldots ,X_{n}^{-1}]=R[X_{1},\ldots ,X_{n}]_{X_{1}\cdots X_{n}}\,,$

Diesen Ring nennt man auch den Laurent-Ring in ${}n$ Variablen über ${}R$.