Kommutative Monoidringe/Universelle Eigenschaft für R-Algebren mit Monoidabbildung/Fakt

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}M$ ein kommutatives Monoid. Es sei ${}B$ eine kommutative ${}R$-Algebra und

$\varphi \colon M\longrightarrow B$

ein Monoidhomomorphismus (bezüglich der multiplikativen Struktur von ${}B$).

Dann gibt es einen eindeutig bestimmten ${}R$-Algebrahomomorphismus

${\tilde {\varphi }}\colon R[M]\longrightarrow B$

derart, dass das Diagramm

${\begin{matrix}M&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&R[M]&\\&\searrow &\downarrow &\\&&B&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

kommutiert.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen