Kommutative Ringtheorie/Elementmultiplikation/Surjektiv, bijektiv, injektiv/Aufgabe/Lösung

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Die Bijektivität impliziert nach Definition stets die Surjektivität. Es sei surjektiv. Dann gibt es insbesondere ein Urbild der , also ein Element mit . Dies bedeutet, dass eine Einheit ist. Wegen der Distributivität ist die Abbildung ein Gruppenhomomorphismus der additiven Gruppe . Um die Injektivität zu zeigen wenden wir das Kernkriterium an. Es sei also . Dann ist aber

so dass der Kern nur aus einem

Element besteht.

Es sei . Dann ist die Multiplikation mit injektiv, aber nicht surjektiv, da nur gerade Zahlen im Bild liegen.