Kreisteilungskörper/Alle primitiven Einheitswurzeln/Basis bei p/Nicht p^2/Aufgabe/Lösung

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a) Der Kreisteilungskörper wird beschrieben als mit dem -ten Kreisteilungspolynom . Dieses hat den Grad (mit der eulerschen -Funktion), und wird durch ersetzt. Daher ist eine -Basis von . Bei ist und wir betrachten die Elemente . Das -te Kreisteilungspolynom ist . Daher ist

so dass man die als Linearkombination der angegebenen Elemente darstellen kann. Daher bilden sie ein Erzeugendensystem und somit auch eine Basis, da es sich um Elemente handelt.

b) Die Einheiten in sind alle Zahlen, die keine Vielfachen von sind. Es gilt

Wir schreiben diese Summe als

Da eine -te primitive Einheitswurzel ist, ist eine -te primitive Einheitswurzel. Die linke Summe ist daher

Also ist auch die rechte Summe

Dies ist aber die Summe über alle Elemente aus unserer Familie, so dass diese Familie linear abhängig ist.