Kreisteilungspolynom/Produkt ist X^n-1/Fakt/Beweis

Beweis

Jede der ${}n$ verschiedenen ${}n$-ten Einheitswurzeln besitzt eine Ordnung ${}d$, die ein Teiler von ${}n$ ist. Eine ${}n$-te Einheitswurzel der Ordnung ${}d$ ist eine primitive ${}d$-te Einheitswurzel. Die Aussage folgt daher aus

${}{\begin{aligned}X^{n}-1&=\prod _{z{\text{ ist }}n{\text{-te Einheitswurzel}}}(X-z)\\&=\prod _{d{|}n}{\left(\prod _{z{\text{ ist primitive }}d{\text{-te Einheitswurzel}}}(X-z)\right)}\\&=\prod _{d{|}n}\Phi _{d}.\end{aligned}}$

Zur bewiesenen Aussage