Kreisteilungspolynome/mod p/Produkt der Linearfaktoren zu Einheitswurzeln/Aufgabe

Es sei ${}\Phi _{n}$ das ${}n$-te Kreisteilungspolynom und es sei ${}p$ eine zu ${}n$ teilerfremde Primzahl. Es sei ${}K$ ein Körper der Charakteristik ${}p$, in dem es eine ${}n$-te primitive Einheitswurzel ${}\zeta$ gebe. Zeige, dass das Produkt

$\prod _{0<i<n,\,\,i,n\,{\rm {teilerfremd}}}(X-\zeta ^{i})$

zu ${}\mathbb {Z} /(p)[X]$ gehört und mit ${}\Phi _{n}\!\!\!\mod p$ übereinstimmt.

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