Lineare Abbildung/Festlegung auf Standardbasis/Zahlenraum/Fakt

Festlegungssatz für lineare Abbildungen

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}m,n\in \mathbb {N}$. Es seien ${}w_{i}$, ${}i=1,\ldots ,n$, Elemente in ${}K^{m}$.

Dann gibt es genau eine lineare Abbildung

$\varphi \colon K^{n}\longrightarrow K^{m}$

mit

$\varphi (e_{i})=w_{i}{\text{ für alle }}i=1,\ldots ,n,$

wobei ${}e_{i}$ den ${}i$-ten Standardvektor bezeichnet.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen