Lineare Abbildung/K^3 nach K^2/125/411/Auf Hyperebene durch 234/Verschiedene Basen/Aufgabe

Wir betrachten die lineare Abbildung

$\varphi \colon K^{3}\longrightarrow K^{2},\,{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\longmapsto {\begin{pmatrix}1&2&5\\4&1&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}.$

Es sei ${}U\subseteq K^{3}$ der durch die lineare Gleichung ${}2x+3y+4z=0$ definierte Untervektorraum von ${}K^{3}$, und ${}\psi$ sei die Einschränkung von ${}\varphi$ auf ${}U$. Zu ${}U$ gehören Vektoren der Form

$u=(0,1,a),\,v=(1,0,b){\text{ und }}w=(1,c,0).$

Berechne ${}a,b,c$ und die Übergangsmatrizen zwischen den Basen

${\mathfrak {b}}_{1}=v,w,\,{\mathfrak {b}}_{2}=u,w{\text{ und }}{\mathfrak {b}}_{3}=u,v$

von ${}U$ sowie die beschreibenden Matrizen für ${}\psi$ bezüglich dieser drei Basen (und der Standardbasis auf ${}K^{2}$).

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