Lineare Abbildungen/Kriterium für trivialen Schnitt von Bild und Kern eines Operators/Aufgabe

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$-Vektorraum und ${}f\colon V\rightarrow V$ ein Endomorphismus. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

1. ${}\operatorname {kern} f=\operatorname {kern} {\left(f\circ f\right)}$,
2. ${}\operatorname {kern} f\cap \operatorname {bild} f=\{0\}$,
3. ${}V=\operatorname {kern} f\oplus \operatorname {bild} f$,
4. ${}\operatorname {bild} f=\operatorname {bild} {\left(f\circ f\right)}$.

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