Maßtheorie/Gemischte Definitionsabfrage/1/Aufgabe/Lösung

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  1. Die Menge heißt abzählbar, wenn sie leer ist oder wenn es eine surjektive Abbildung

    gibt.

  2. Ein Teilmengensystem auf einer Menge heißt Mengen-Algebra, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind.
    1. Es ist .
    2. Mit gehört auch das Komplement zu .
    3. Für je zwei Mengen ist auch .
  3. Es sei ein topologischer Raum. Dann nennt man die von erzeugte -Algebra die Menge der Borel-Mengen von .
  4. Eine Folge von Teilmengen , , in mit für alle heißt Ausschöpfung von , wenn gilt.
  5. Eine Abbildung

    heißt ein Maß auf , wenn folgende Bedingung erfüllt ist.

    Für jede abzählbare Familie von paarweise disjunkten Teilmengen , , aus gilt

  6. Ein Maß auf heißt translationsinvariant, wenn für alle messbaren Teilmengen und alle Vektoren die Gleichheit

    gilt.

  7. Es sei ein -endlicher Maßraum und

    eine messbare numerische nichtnegative Funktion. Dann heißt

    das Integral von über (zum Maß ).

  8. Es sei die Menge der Häufungspunkte der Folge . Dann setzt man

    und nennt diese Zahl den Limes inferior der Folge.