Mannigfaltigkeit/Abzählbare Basis/Lokal endlicher Atlas/Fakt

Es sei ${}M$ eine Mannigfaltigkeit mit einer abzählbaren Basis der Topologie. Es sei ${}M=\bigcup _{i\in I}W_{i}$ eine offene Überdeckung von ${}M$.

Dann gibt es einen abzählbaren verträglichen Atlas ${}{\left(U_{j},\alpha _{j},V_{j}\right)}$, ${}j\in J$, mit Ballumgebungen

${}U{\left(0,\delta _{j}\right)}\subset B\left(0,\epsilon _{j}\right)\subset V_{j}\,$

(dabei ist ${}0\in V_{j}\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ und ${}\delta _{j}<\epsilon _{j}$) derart, dass es für jedes ${}j\in J$ ein ${}W_{i(j)}$ mit ${}U_{j}\subseteq W_{i(j)}$ gibt, dass ${}M$ von ${}\alpha _{j}^{-1}{\left(U{\left(0,\delta _{j}\right)}\right)}$, ${}j\in J$, überdeckt wird und dass jeder Punkt ${}P\in M$ nur in endlich vielen der Mengen ${}U_{j}$ liegt.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen