Mannigfaltigkeit/Differentialform/Elementare Eigenschaften/Fakt

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und zu ${}k\in \mathbb {N}$ sei ${}{\mathcal {E}}^{k}(M)$ die Menge der ${}k$-Formen auf ${}M$. Dann gelten folgende Eigenschaften.

1. Die ${}{\mathcal {E}}^{k}(M)$ bilden mit den natürlichen Operationen versehen reelle Vektorräume.
2. Zu einer Differentialform ${}\omega \in {\mathcal {E}}^{k}(M)$ und einer Funktion

   $f\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$

   ist auch ${}f\omega \in {\mathcal {E}}^{k}(M)$, wobei ${}f\omega$ durch

   ${}(f\omega )(P):=f(P)\omega (P)\,$

   definiert ist.

3. Jede ${}C^{1}$-differenzierbare Funktion

   $f\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$

   definiert über die Tangentialabbildung ${}Tf$ eine ${}1$-Differentialform

   $df\colon M\longrightarrow T^{*}M,\,P\longmapsto T_{P}f,$

   wobei der Tangentialraum von ${}\mathbb {R}$ in ${}f(P)$ mit ${}\mathbb {R}$ identifiziert wird. Dies ergibt eine Abbildung

   $d\colon C^{1}(M,\mathbb {R} )\longrightarrow {\mathcal {E}}^{1}(M),\,f\longmapsto df.$

4. Wenn ${}M\subseteq \mathbb {R} ^{m}$ eine offene Teilmenge ist, so ist bei der Identifizierung

   ${}TM\cong M\times \mathbb {R} ^{m}\,$

   die Abbildung aus (3) gleich

   $M\longrightarrow M\times (\mathbb {R} ^{m})^{*},\,P\longmapsto (P,{\left(Df\right)}_{P}{\left(-\right)}).$

5. Die Abbildung ${}d$ aus (3) ist ${}\mathbb {R}$-linear.

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