Matrix/Eigenwerte/0510/Q und R/Beispiel

Wir betrachten die durch die Matrix

${}M={\begin{pmatrix}0&5\\1&0\end{pmatrix}}\,$

definierte lineare Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {Q} ^{2}\longrightarrow \mathbb {Q} ^{2},\,{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\longmapsto {\begin{pmatrix}0&5\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}5y\\x\end{pmatrix}}.$

Die Frage, ob diese Abbildung Eigenwerte besitzt, führt zur Frage, ob es ${}\lambda \in \mathbb {Q}$ derart gibt, dass die Gleichung

${}{\begin{pmatrix}0&5\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}=\lambda {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\,$

eine nichtriviale Lösung ${}(x,y)\neq (0,0)$ besitzt. Bei gegebenem ${}\lambda$ kann dies auf ein lineares Problem zurückgeführt werden, das mit dem Eliminationsalgorithmus einfach gelöst werden kann. Die Frage aber, ob es Eigenwerte überhaupt gibt, führt wegen des variablen „Eigenwertparameters“ ${}\lambda$ zu einem nichtlinearen Problem. Das obige Gleichungssystem bedeutet ausgeschrieben

$5y=\lambda x{\text{ und }}x=\lambda y.$

Bei ${}y=0$ ist auch ${}x=0$, der Nullvektor ist aber kein Eigenvektor. Es sei also ${}y\neq 0$. Aus den beiden Gleichungen erhält man die Bedingung

${}5y=\lambda x=\lambda ^{2}y\,,$

woraus ${}5=\lambda ^{2}$ folgt. Da in ${}\mathbb {Q}$ die Zahl ${}5$ keine Quadratwurzel besitzt, gibt es keine Lösung und das bedeutet, dass ${}\varphi$ keine Eigenwerte und damit auch keine Eigenvektoren besitzt.

Wir fassen nun die Matrix ${}M$ als eine reelle Matrix auf und untersuchen die zugehörige Abbildung

$\psi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\longmapsto {\begin{pmatrix}0&5\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}5y\\x\end{pmatrix}}.$

Die gleichen Rechnungen führen auf die notwendige Lösungsbedingung ${}5=\lambda ^{2}$, die jetzt von den beiden reellen Zahlen

$\lambda _{1}={\sqrt {5}}\,\,{\text{ und }}\,\,\lambda _{2}=-{\sqrt {5}}$

erfüllt wird. Für diese beiden Werte kann man unabhängig voneinander nach Eigenvektoren suchen. Wir betrachten zuerst den Fall ${}\lambda ={\sqrt {5}}$, was zum linearen Gleichungssystem

${}{\begin{pmatrix}0&5\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\sqrt {5}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\,$

führt. Dies schreibt man als

${}{\begin{pmatrix}0&5\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\sqrt {5}}&0\\0&{\sqrt {5}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\,$

bzw. als lineares Gleichungssystem

${}{\begin{pmatrix}{\sqrt {5}}&-5\\-1&{\sqrt {5}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}\,.$

Dieses ist einfach lösbar, der Lösungsraum ist eindimensional und

${}v={\begin{pmatrix}{\sqrt {5}}\\1\end{pmatrix}}\,$

ist eine Basislösung.

Für ${}\lambda =-{\sqrt {5}}$ führen dieselben Umformungen zu einem weiteren linearen Gleichungssystem, für das der Vektor

${}w={\begin{pmatrix}-{\sqrt {5}}\\1\end{pmatrix}}\,$

eine Basislösung ist. Über ${}\mathbb {R}$ sind also ${}{\sqrt {5}}$ und ${}-{\sqrt {5}}$ Eigenwerte und die zugehörigen Eigenräume sind

$\operatorname {Eig} _{\sqrt {5}}{\left(\psi \right)}={\left\{s{\begin{pmatrix}{\sqrt {5}}\\1\end{pmatrix}}\mid s\in \mathbb {R} \right\}}\,\,{\text{ und }}\,\,\operatorname {Eig} _{-{\sqrt {5}}}{\left(\psi \right)}={\left\{s{\begin{pmatrix}-{\sqrt {5}}\\1\end{pmatrix}}\mid s\in \mathbb {R} \right\}}.$