Matrix/Elementare Zeilenumformung/Elementarmatrix von links/Fakt

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}M$ eine ${}m\times n$ -Matrix mit Einträgen in ${}K$ . Dann hat die Multiplikation mit den ${}m\times m$ -Elementarmatrizen von links mit ${}M$ folgende Wirkung.

${}V_{ij}\circ M=$ Vertauschen der ${}i$ -ten und der ${}j$ -ten Zeile von ${}M$ .

${}(S_{k}(s))\circ M=$ Multiplikation der ${}k$ -ten Zeile von ${}M$ mit ${}s$ .

${}(A_{ij}(a))\circ M=$ Addition des ${}a$ -fachen der ${}j$ -ten Zeile von ${}M$ zur ${}i$ -ten Zeile ( $i\neq j$ ).

Einen Beweis erstellen