Mechanische ebene Kurven/Stangenkoppelung/Zissoide des Diokles und asymptotische Gerade/Unbeschränkte Trajektorien/Beispiel

Die Zissoide des Diokles ${}C$ ist durch die Gleichung

{}Y^{2}(1-X)=X^{3}\,

gegeben. Sie hat für reelles ${}x<0$ keine reelle Lösung, da dann die rechte Seite negativ ist und keine Quadratwurzel besitzt. Sie hat auch für reelles ${}x\geq 1$ keine reelle Lösung, da dann die rechte Seite positiv, aber der Koeffizient ${}1-x\leq 0$ ist, so dass es wieder keine reelle Lösung gibt. Für ${}x=0$ ist ${}y=0$ die einzige Lösung, und für ${}x$ , ${}0<x<1$ gibt es genau zwei Lösungen in ${}y$ , die beide reelle sind.

Wir betrachten nun die Zissoide zusammen mit der durch ${}x=1$ definierten Geraden ${}G$ (im Bild grau) und das zugehörige mechanische Koppelungssystem mit Koppelungsabstand ${}d$ . Die Kurven ${}C$ und ${}G$ sind also die beiden Bahnen des mechanischen Stangensystems. Zu jeder reellen Zahlen ${}b\geq 0$ gibt es stets Punkte ${}Q_{1},Q_{2}$ mit ${}Q_{1}\in C$ , ${}Q_{2}\in G$ , mit ${}d(Q_{1},0),d(Q_{2},0)\geq b$ und ${}d(Q_{1},Q_{2})=d$ . Daher gibt es unbeschränkte Trajektorien. Die Gerade selbst ist eine unbeschränkte (Koppelungspunkt-)Trajektorie für einen Koppelungsabstand ${}\geq 1$ ( ${}1$ ist nicht die exakte Grenze; für kleinen Koppelungsabstand ist ein beschränkter Ausschnitt um ${}(1,0)$ nicht der Teil der Trajektorie) und die Zissoide ist eine (Koppelungspunkt-)Trajektorie, wenn der Koppelungsabstand ${}\geq 1$ ist (andernfalls ist ein beschränkter Teilbereich um den Nullpunkt nicht Teil der Trajektorie).