Messraum/Einfache und sigmaeinfache Funktionen/Approximation/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}(M,{\mathcal {A}})$ ein Messraum. Eine messbare numerische Funktion

$f\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$

heißt einfach, wenn sie nur endlich viele Werte besitzt.

Definition

Es sei ${}(M,{\mathcal {A}})$ ein Messraum. Eine messbare numerische Funktion

$f\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$

heißt ${}\sigma$-einfach, wenn sie nur abzählbar viele Werte besitzt.

Die Terminologie ist hierbei extrem uneinheitlich. Man findet für diese beiden Begriffe auch die Wörter Elementarfunktion und Treppenfunktion, wobei manchmal die Messbarkeit vorausgesetzt wird, manchmal nicht. Manchmal wird auch noch die Nichtnegativität vorausgesetzt.

Lemma

Es sei ${}(M,{\mathcal {A}})$ ein Messraum und sei

$f\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$

eine messbare numerische nichtnegative Funktion.

Dann gibt es eine wachsende Folge von nichtnegativen einfachen Funktionen

$f_{n}\colon M\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},$

die punktweise gegen ${}f$ konvergieren.

Beweis

Die Idee ist, die Funktion ${}f$ im ${}n$-ten Schritt durch eine einfache Funktion ${}f_{n}$ zu approximieren, deren Werte rationale Zahlen der Form ${}{\frac {k}{2^{n}}}$ mit ${}0\leq k\leq n2^{n}$ sind. Dies sind nur endlich viele Zahlen. Für jede nichtnegative reelle Zahl ${}a$ ist entweder ${}a\geq n$, oder es gibt ein eindeutig bestimmtes ${}k$ zwischen ${}0$ und ${}n2^{n}-1$ mit ${}{\frac {k}{2^{n}}}\leq a<{\frac {k+1}{2^{n}}}$. Daher ist die folgende einfache Funktion wohldefiniert.

${}f_{n}(x):={\begin{cases}{\frac {k}{2^{n}}},\,{\text{ falls }}{\frac {k}{2^{n}}}\leq f(x)<{\frac {k+1}{2^{n}}}{\text{ mit }}k\leq n2^{n}-1\,,\\n{\text{ sonst}}\,.\end{cases}}\,$

Sie ist messbar, da aufgrund der Messbarkeit von ${}f$ die Mengen ${}{\left\{x\in M\mid {\frac {k}{2^{n}}}\leq f(x)<{\frac {k+1}{2^{n}}}\right\}}$ messbar sind. Die Folge dieser Funktionen wächst offenbar gegen ${}f$.

$\Box$

Für jedes ${}x\in M$ gibt ab ${}n\geq f(x)$ die Folge ${}f_{n}(x)$ den Wert der Dualbruchentwicklung für ${}f(x)$ bis zur ${}n$-ten Ziffer nach dem Komma an.