Natürliche Zahlen/Potenzen/Zählen/Textabschnitt

Definition

Zu einer natürlichen Zahl ${}a$ und einer natürlichen Zahl ${}n$ nennt man die ${}n$-fache Multiplikation von ${}a$ mit sich selbst

$a\cdot a\cdots a\cdot a$

(${}n$ Faktoren) die ${}n$-te Potenz von ${}a$. Sie wird mit ${}a^{n}$ bezeichnet.

Die Zahl ${}a$ heißt in diesem Zusammenhang die Basis der Potenz und ${}n$ der Exponent. Bei ${}n=0$ ist dies als

${}a^{0}=1\,$

zu verstehen. Dies gilt auch für ${}0$, also ${}0^{0}=1$, wobei man hier häufig auf eine Festlegung verzichtet. Für positive Exponenten ${}n$ ist jedenfalls

${}0^{n}=0\,.$

Wie gesagt, der Exponent bestimmt die Anzahl der Faktoren

$\underbrace {a\cdot a{\cdots }a} _{n{\text{-mal}}},$

die Anzahl der auszuführenden Multiplikationen ist um eins kleiner. Man kann aber auch von ${}1$ ausgehen und die Potenz als

$1\cdot a\cdot a\cdots a\cdot a$

auffassen.

Bei fixiertem Exponenten ${}n$ bilden die Potenzen

$0^{n},1^{n},2^{n},3^{n},4^{n},\ldots$

die Menge aller ${}n$-ten Potenzen. Bei ${}n=2$ ist das die Menge der Quadratzahlen, bei ${}n=3$ die Menge der Kubikzahlen. Bei fixierter Basis ${}a$ bilden die Potenzen

$a^{0},a^{1},a^{2},a^{3},a^{4},\ldots$

die Menge aller ${}a$-er Potenzen, also alle Zweierpotenzen, alle Dreierpotenzen, u.s.w.

Als Rechenregeln für das Potenzieren halten wir die folgenden Eigenschaften fest.

Lemma

Für das Potenzieren gelten die folgenden Eigenschaften, wobei ${}a,b\in \mathbb {N} _{+}$ und ${}m,n\in \mathbb {N}$ seien.

1. ${}a^{m+n}=a^{m}\cdot a^{n}\,.$

2. ${}(a^{m})^{n}=a^{mn}\,.$

3. ${}(a\cdot b)^{n}=a^{n}\cdot b^{n}\,.$

Beweis

Siehe Aufgabe.

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