Nebenklassen/Additiver Fall/Z und Vektorraum/Beispiel

In einer (additiv geschriebenen) kommutativen Gruppe wie ${}\mathbb {Z}$ oder einem Vektorraum ${}V$ und einer Untergruppe ${}H$ bedeutet ${}x\sim _{H}y$, dass ${}y-x\in H$ ist bzw. dass es ein ${}h\in H$ mit

${}y=x+h\,$

gibt. Die Äquivalenzklassen sind von der Form ${}x+H={\left\{x+h\mid h\in H\right\}}$. Bei ${}H=\mathbb {Z} d\subseteq \mathbb {Z}$ mit einem festen ${}d$ besitzen die Äquivalenzklassen die Form

$H=\mathbb {Z} d,\,1+H=\{\ldots ,1-d,1,1+d,1+2d,\ldots \},\,2+H=\{\ldots ,2-d,2,2+d,2+2d,\ldots \},\ldots .$

Die Klassen vereinigen diejenigen ganzen Zahlen, die bei Division durch ${}d$ den Rest ${}0$ oder ${}1$ oder ${}2$ u.s.w. haben. Diese Klassen bilden eine vollständige Zerlegung von ${}\mathbb {Z}$.

Die Äquivalenzklassen zu einem Untervektorraum.

Wenn ${}H=U\subseteq V$ ein Untervektorraum ist, so haben die Äquivalenzklassen die Form ${}v+U={\left\{v+u\mid u\in U\right\}}$ für einen Vektor ${}v\in V$. Dies ist der affine Raum mit dem Aufpunkt ${}v$ und dem Verschiebungsraum ${}U$ (im Sinne von Definition). Die Äquivalenzklassen bilden eine Familie von zueinander parallelen affinen Unterräumen.