Noetherscher lokaler Ring/Potenzen vom maximalen Ideal/Restklassenring und Jets sind endlich-dimensional/Fakt/Beweis

Beweis

Wir schreiben den Restklassenmodul ${}{\mathfrak {m}}^{n}/{\mathfrak {m}}^{n+1}$ als

${}{\mathfrak {m}}^{n}/{\mathfrak {m}}^{n+1}\cong {\mathfrak {m}}^{n}/({\mathfrak {m}}^{n}){\mathfrak {m}}\,.$

Damit sind wir in der Situation von Fakt. Da ${}{\mathfrak {m}}^{n}$ ein endlich erzeugtes Ideal ist, folgt, dass dieser Restklassenmodul endliche Dimension über dem Restklassenkörper besitzt.

Für die Restklassenringe betrachten wir die kurze exakte Sequenz von ${}R$-Moduln,

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathfrak {m}}^{n}/{\mathfrak {m}}^{n+1}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,R/{\mathfrak {m}}^{n+1}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,R/{\mathfrak {m}}^{n}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0.$

Dies ist nach unserer Voraussetzung auch eine kurze exakte Sequenz von ${}K$-Vektorräumen, sodass sich die ${}K$-Dimensionen addieren. Nach dem bereits bewiesenen steht links ein endlichdimensionaler Raum. Die Aussage folgt nun durch Induktion über ${}n$ aus dieser Sequenz, wobei der Induktionsanfang durch ${}R/{\mathfrak {m}}=K$ gesichert ist.

Zur bewiesenen Aussage