Offene Mengen/Differenzierbare Abbildung/Zurückziehen von Volumenform auf gleichdimensionalem Raum/In Koordinaten/Fakt

Es seien ${}U,V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offene Teilmengen, deren Koordinaten mit ${}x_{1},\ldots ,x_{n}$ bzw. mit ${}y_{1},\ldots ,y_{n}$ bezeichnet seien. Es sei

$\varphi \colon U\longrightarrow V$

eine differenzierbare Abbildung und es sei ${}\omega$ eine ${}n$-Differentialform auf ${}V$ mit der Darstellung

${}\omega =fdy_{1}\wedge \ldots \wedge dy_{n}\,.$

Dann besitzt die zurückgezogene Form die Darstellung

${}\varphi ^{*}\omega =(f\circ \varphi )\cdot \det {\left({\left({\frac {\partial \varphi _{i}}{\partial x_{j}}}\right)}_{1\leq i,j\leq n}\right)}dx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}\,.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen