Parametrisierte Kurve/Als riemannsche Mannigfaltigkeit/Kurvenlänge/Beispiel

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein offenes Intervall und

$\varphi \colon I\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}$

eine reguläre differenzierbare Kurve, es sei also überall ${}\varphi '(t)\neq 0$. Ferner sei angenommen, dass ${}\varphi$ injektiv und dass das Bild ${}M=\varphi (I)$ von ${}I$ eine eindimensionale abgeschlossene Untermannigfaltigkeit einer offenen Teilmenge ${}G\subseteq \mathbb {R} ^{m}$ ist. Dann gilt nach Fakt für die kanonische Form ${}\omega$ von ${}M$ (bzw. das kanonische Maß, das in diesem Fall ein Längenmaß ist) die Beziehung

${}{\begin{aligned}\varphi ^{*}\omega &={\left(\left\langle {\begin{pmatrix}\varphi '_{1}(t)\\\vdots \\\varphi '_{m}(t)\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}\varphi '_{1}(t)\\\vdots \\\varphi '_{m}(t)\end{pmatrix}}\right\rangle \right)}^{1/2}dt\\&={\sqrt {(\varphi '_{1}(t))^{2}+\cdots +(\varphi '_{m}(t))^{2}}}dt\\&=\Vert {\varphi '(t)}\Vert dt.\end{aligned}}$

Somit gilt bei ${}I={]a,b[}$ für das Maß (also die Länge) von ${}M$ die Formel

${}\lambda _{M}(M)=\int _{a}^{b}{\sqrt {(\varphi '_{1}(t))^{2}+\cdots +(\varphi '_{m}(t))^{2}}}\,dt\,.$

Dies stimmt mit der in Fakt über die Theorie der rektifizierbaren Kurven erzielten Formel überein.