Polynom/Q X modulo X^4-1/Produkt von Körpern/Restklasse von X^3+X/Aufgabe/Lösung

Es ist

${}X^{4}-1=(X^{2}-1)(X^{2}+1)=(X+1)(X-1)(X^{2}+1)\,$

und ${}X^{2}+1\in \mathbb {Q} [X]$ ist irreduzibel, da es keine rationale Nullstelle besitzt. Es handelt sich also um die Primfaktorzerlegung, wobei die Faktoren paarweise nicht assoziiert sind, da sie ja alle normiert sind. Nach dem chinesischen Restsatz für Hauptidealbereiche gilt daher die Produktzerlegung

${}\mathbb {Q} [X]/(X^{4}-1)\cong \mathbb {Q} [X]/(X+1)\times \mathbb {Q} [X]/(X-1)\times \mathbb {Q} [X]/(X^{2}+1)\cong \mathbb {Q} \times \mathbb {Q} \times \mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]\,,$

wobei wir für das zweite Gleichheitszeichen die Einsetzungen ${}X\mapsto -1$ und ${}X\mapsto 1$ und die Isomorphie ${}\mathbb {Q} [X]/(X^{2}+1)\cong \mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]$ verwendet haben. Das Element ${}X^{3}+X=X(X^{2}+1)$ wird unter den drei Projektionen auf ${}-2,2$ und ${}0$ abgebildet, es ist also gleich

$(-2,2,0).$

Zur gelösten Aufgabe