Polynomring über Körper/Der euklidische Algorithmus/Bemerkung

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Es sei ein Körper und sei der Polynomring über . Dies ist ein Hauptidealbereich und daher gibt es zu gegebenen Polynomen einen größten gemeinsamen Teiler, und diesen kann man darstellen als Linearkombination der gegebenen Polynome. Es gibt sogar ein effektives Verfahren, eine solche Darstellung explizit zu finden, das man (wie bei den ganzen Zahlen ) den euklidischen Algorithmus nennt. Wir beschränken uns auf den Fall von zwei Polynomen und . Man führt nun sukzessive eine Division mit Rest durch und erhält zunächst

Dann erhält man
usw., bis schließlich der Rest ist. Dieser Fall muss letztlich eintreten, da sich bei jedem Divisionsschritt der Grad der Reste reduziert. Der vorletzte Rest ist dann der größte gemeinsame Teiler, und man kann durch Zurückrechnen entlang der Gleichungen eine Darstellung dieses ggTs mit

und finden.