Polynomring/Positiv graduiert/Hilbert-Reihe/Fakt

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ der Polynomring über ${}K$, wobei die ${}X_{i}$ den positiven Grad ${}d_{i}\in \mathbb {N} _{+}$ haben mögen.

Dann ist die Hilbert-Reihe dieses Ringes gleich

${}H(R,z)={\frac {1}{{\left(1-z^{d_{1}}\right)}\cdots {\left(1-z^{d_{n}}\right)}}}\,.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen