Produktmenge/Teilmenge/Querschnitt und Faser/Charakterisierung der Messbarkeit/Aufgabe

Es seien ${}(M,{\mathcal {A}})$ und ${}(N,{\mathcal {B}})$ zwei Messräume, die nicht leer seien und wobei die einelementigen Teilmengen messbar seien. Alle Teilmengen von ${}M\times N$ seien mit der durch ${}{\mathcal {A}}\otimes {\mathcal {B}}$ induzierten ${}\sigma$-Algebra versehen. Es sei ${}S\subseteq M$. Zeige, dass folgende Eigenschaften äquivalent sind.

1. ${}S$ ist eine messbare Teilmenge von ${}M$.
2. Es gibt ein ${}y\in N$ derart, dass ${}S\times \{y\}\subseteq M\times \{y\}$ messbar ist.
3. Für alle ${}y\in N$ ist ${}S\times \{y\}\subseteq M\times \{y\}$ messbar.
4. Es gibt ein ${}y\in N$ derart, dass ${}S\times \{y\}$ messbar in ${}M\times N$ ist.
5. Für alle ${}y\in N$ ist ${}S\times \{y\}$ messbar in ${}M\times N$.

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