Quadratische Matrix/Annullierende Polynome/Von minimalem Grad/Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}M$ eine ${}n\times n$-Matrix über ${}K$. Wir betrachten im Polynomring ${}K[X]$ die Teilmenge

$I={\left\{P\in K[X]\mid P(M)=0\right\}}.$

Es sei ${}F\in I$, ${}F\neq 0$, derart, dass es in ${}I$ kein Polynom von kleinerem Grad gibt. Zeige: Jedes Element ${}G\in I$ kann man schreiben als

$G=FQ$

mit einem ${}Q\in K[X]$.

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