Quadratische Zahlbereiche/Hauptdivisor/D ist -10/q ist 2/3 - 1/5 sqrt(-10)/Aufgabe/Lösung

Sei $R=A_{-10}=\mathbb {Z} [X]/(X^{2}+10)$. Wir bringen $q={\frac {2}{3}}-{\frac {1}{5}}{\sqrt {-10}}$ auf einen Hauptnenner, also

$q={\frac {10-3{\sqrt {-10}}}{15}}$ .

Der Nenner ist $15=3\cdot 5$. Die Zerlegung für diese Primzahlen ist:

Modulo $3$.

$R/(3)=\mathbb {Z} /(3)[X]/(X^{2}+1)$.

Das Polynom $X^{2}+1$ hat keine Nullstelle über $\mathbb {Z} /(3)$, also ist es irreduzibel und es liegt ein Körper vor. Daher ist $(3)$ ein Primideal in $R$.

Modulo $5$.

$R/(5)=\mathbb {Z} /(5)[X]/(X^{2})$.

Das Polynom $X^{2}$ ist nicht irreduzibel, es liegt ein nicht reduzierter Ring mit einzigem Primideal $(X)$ vor. Diesem Primideal entspricht in $R$ das Primideal ${\mathfrak {p}}=(5,{\sqrt {-10}})$. Es gilt die Idealzerlegung $(5)={\mathfrak {p}}^{2}$ in $R$.

Für den Zähler betrachten wir die Norm, also

$(10-3{\sqrt {-10}})(10+3{\sqrt {-10}})=100-9(-10)=190=2\cdot 5\cdot 19$ .

Wir berechnen wieder die Idealzerlegung der beteiligten Primfaktoren.

Modulo $2$.

$R/(2)=\mathbb {Z} /(2)[X]/(X^{2})$.

Das Polynom $X^{2}$ ist nicht irreduzibel, es liegt ein nicht reduzierter Ring mit einzigem Primideal $(X)$ vor. Diesem Primideal entspricht in $R$ das Primideal ${\mathfrak {q}}=(2,{\sqrt {-10}})$. Es gilt die Idealzerlegung $(2)={\mathfrak {q}}^{2}$ in $R$.

Modulo $19$.

$R/(19)=\mathbb {Z} /(19)[X]/(X^{2}+10)$.

Das Polynom $X^{2}+10$ ist nicht irreduzibel, es hat die beiden Nullstellen $3$ und $-3$, und die Zerlegung $X^{2}+10=(X+3)(X-3)$. Damit gibt es die beiden Primideale $(X-3)$ und $(X+3)$, die den beiden konjugierten Primidealen ${\mathfrak {m}}=(19,-3+{\sqrt {-10}})$ und ${\overline {\mathfrak {m}}}=(19,3+{\sqrt {-10}})$ entsprechen.

Damit ist

$(190)={\mathfrak {q}}^{2}{\mathfrak {p}}^{2}{\mathfrak {m}}{\overline {\mathfrak {m}}}$ .

Die doppelt auftretenden Primideale verteilen sich (aus Symmetriegründen) auf die beiden Faktoren. In ${\mathfrak {m}}$ kann man $19+3(-3+{\sqrt {-10}})=10+3{\sqrt {-10}}$ schreiben, sodass $10-3{\sqrt {-10}}$ zu ${\overline {\mathfrak {m}}}$ gehört, und man erhält

$(10-3{\sqrt {-10}})={\mathfrak {q}}{\mathfrak {p}}{\overline {\mathfrak {m}}}$.

Damit ist der Hauptdivisor gleich

$\operatorname {div} (q)={\mathfrak {q}}+{\mathfrak {p}}+{\overline {\mathfrak {m}}}-(3)-2{\mathfrak {p}}={\mathfrak {q}}+{\overline {\mathfrak {m}}}-(3)-{\mathfrak {p}}$ .