Quadratischer Zahlbereich/D ist -6/Hauptdivisor zu 4/5 + 2/3 sqrt(-6)/Berechne/Aufgabe/Lösung

Es ist

$q={\frac {12+10{\sqrt {-6}}}{15}}={\frac {2}{15}}(6+5{\sqrt {-6}}).$

Wir berechnen zuerst die Primidealzerlegungen von ${}2$, ${}3$ und ${}5$.

Modulo ${}2$:

${}R/(2)=({\mathbb {Z} }/(2))[X]/(X^{2})$. Das führt zum Primideal ${}{\mathfrak {p}}=(2,{\sqrt {-6}})$ und zu ${}(2)={\mathfrak {p}}^{2}$.

Modulo ${}3$:

${}R/(3)=({\mathbb {Z} }/(3))[X]/(X^{2})$. Das führt zum Primideal ${}{\mathfrak {q}}=(3,{\sqrt {-6}})$ und zu ${}(3)={\mathfrak {q}}^{2}$.

Modulo ${}5$:

${}R/(5)=({\mathbb {Z} }/(5))[X]/(X^{2}+1)$. Es ist ${}X^{2}+1=(X+2)(X+3)$. Es sei ${}{\mathfrak {m}}=(5,2+{\sqrt {-6}})$ und ${}{\overline {\mathfrak {m}}}=(5,2-{\sqrt {-6}})$. Damit ist ${}(5)={\mathfrak {m}}{\overline {\mathfrak {m}}}$.

Um die Zerlegung von ${}6+5{\sqrt {-6}}$ zu erhalten berechnen wir die Norm.

$(6+5{\sqrt {-6}})(6-5{\sqrt {-6}})=36-25\cdot (-6)=186=2\cdot 3\cdot 31.$

Modulo ${}31$ ergibt sich

${}R/(31)=({\mathbb {Z} }/(31))[X]/(X^{2}+6)$. Es ist ${}X^{2}+6=(X-5)(X+5)$. . Es sei ${}{\mathfrak {r}}=(31,5+{\sqrt {-6}})$ und ${}{\overline {\mathfrak {r}}}=(31,5-{\sqrt {-6}})$. Damit ist ${}(31)={\mathfrak {r}}{\overline {\mathfrak {r}}}$.

Für ${}6+5{\sqrt {-6}}$ muss man schauen, ob es zu ${}{\mathfrak {r}}$ oder zu ${}{\overline {\mathfrak {r}}}$ gehört. In${}{\mathfrak {r}}$ kann man bilden

$31-5(5+{\sqrt {-6}})=6-5{\sqrt {-6}}.$

Also ist ${}6-5{\sqrt {-6}}\in {\mathfrak {r}}$ und damit ${}6+5{\sqrt {-6}}\in {\overline {\mathfrak {r}}}$.

Damit ist ${}(6+5{\sqrt {-6}})={\mathfrak {p}}{\mathfrak {q}}{\overline {\mathfrak {r}}}$ und insgesamt

${}{\begin{aligned}(q)&=(2)(6+5{\sqrt {-6}})(15)^{-1}\\&={\mathfrak {p}}^{2}{\mathfrak {p}}{\mathfrak {q}}{\overline {\mathfrak {r}}}{\mathfrak {q}}^{-2}{\mathfrak {m}}^{-1}{\overline {\mathfrak {m}}}^{-1}\\&={\mathfrak {p}}^{3}{\overline {\mathfrak {r}}}{\mathfrak {q}}^{-1}{\mathfrak {m}}^{-1}{\overline {\mathfrak {m}}}^{-1}\end{aligned}}$

oder als Divisor geschrieben:

$\operatorname {div} (q)=3{\mathfrak {p}}+{\overline {\mathfrak {r}}}-{\mathfrak {q}}-{\mathfrak {m}}-{\overline {\mathfrak {m}}}.$

Zur gelösten Aufgabe