Quadratischer Zahlbereich/D ist 14/Hauptdivisor zu 3/5 - 1/7 sqrt(14)/Berechne/Aufgabe/Lösung

Es ist

$q={\frac {21-5{\sqrt {14}}}{35}}.$

Für die Primfaktoren des Nenners berechnen wir

${}p=5$:

${}R/(5)=\mathbb {Z} /(5)[X]/(X^{2}-4)$. Hier ist ${}X^{2}-4=(X-2)(X+2)$, es liegt also der zerlegte Fall vor. Den zwei Primidealen im Restklassenring entsprechen die Primideale

${\mathfrak {p}}=(5,2+{\sqrt {14}}){\text{ und }}{\overline {\mathfrak {p}}}=(5,2-{\sqrt {14}})$

und es ist ${}(5)={\mathfrak {p}}{\overline {\mathfrak {p}}}$.

${}p=7$:

${}R/(7)=\mathbb {Z} /(7)[X]/(X^{2})$. Hier liegt also der verzweigte Fall vor. Dem Primideal im Restklassenring entspricht das Primideal

${\mathfrak {q}}=(7,{\sqrt {14}})$

und es ist ${}(7)={\mathfrak {q}}^{2}$,

Für den Zähler betrachten wir

$(21-5{\sqrt {14}})(21+5{\sqrt {14}})=441-25\cdot 14=441-350=91=7\cdot 13.$

Für ${}p=13$ ergibt sich:

${}R/(13)=\mathbb {Z} /(13)[X]/(X^{2}-1)$. Hier liegt also wieder der zerlegte Fall vor, ${}X^{2}-1=(X-1)(X+1)$. Also liegen darüber die Primideale

${\mathfrak {m}}=(13,1+{\sqrt {14}}){\text{ und }}{\overline {\mathfrak {m}}}=(13,1-{\sqrt {14}})$

und es ist ${}(13)={\mathfrak {m}}{\overline {\mathfrak {m}}}$. Wir müssen nun bestimmen, ob ${}21-5{\sqrt {14}}$ zu ${}{\mathfrak {m}}$ oder zu ${}{\overline {\mathfrak {m}}}$ gehört. Eine direkte Rechnung ergibt ${}2\cdot 13-5(1+{\sqrt {14}})=21-5{\sqrt {14}}$, sodass ${}21-5{\sqrt {14}}\in {\mathfrak {m}}$ vorliegt. Damit ist insgesamt

${}\operatorname {div} (q)=({\mathfrak {q}}+{\mathfrak {m}})-({\mathfrak {p}}+{\overline {\mathfrak {p}}}+2{\mathfrak {q}})={\mathfrak {m}}-{\mathfrak {p}}-{\overline {\mathfrak {p}}}-{\mathfrak {q}}\,.$

Zur gelösten Aufgabe