Quadratisches Reziprozitätsgesetz/Ergänzungssatz 2/Fakt mit Beweisklappe

2. Ergänzungssatz

Für eine ungerade Primzahl ${}p$ gilt:

${}\left({\frac {2}{p}}\right)=(-1)^{\frac {p^{2}-1}{8}}=\left\{{\begin{matrix}1\,,&{\mbox{falls}}&p=\pm 1\mod 8\,,\\-1&{\mbox{sonst}}&{\mbox{(also }}p=\pm 3\mod 8{\mbox{)}}&\,.\end{matrix}}\right.\,$

Beweis

Wir benutzen Fakt und haben zu bestimmen, wie viele der Zahlen ${}2i$, ${}i=1,\ldots ,t={\frac {p-1}{2}}$, in ${}S_{-}$ liegen. Nun ist ${}2i\in S_{-}$ genau dann, wenn ${}2i>{\frac {p-1}{2}}$ ist (alle zu betrachtenden Vielfachen von ${}2$ sind kleiner als ${}p$). Dies ist äquivalent zu ${}i>{\frac {p-1}{4}}$ und wir haben das kleinste ${}i$ mit dieser Eigenschaft zu finden. Ist ${}p-1$ ein Vielfaches von ${}4$, so ist ${}{\frac {p-1}{4}}+1$ das kleinste ${}i$ und insgesamt gibt es in diesem Fall

${}{\frac {p-1}{2}}-{\left({\frac {p-1}{4}}+1\right)}+1={\frac {p-1}{4}}\,$

solche ${}i$. Diese Anzahl ist bei ${}p=1\mod 8$ gerade und bei ${}p=5\mod 8$ ungerade, was das Ergebnis in diesen Fällen ergibt.

Es sei also nun ${}p=3,7\mod 8$ bzw. ${}p=3\mod 4$. Dann ist das kleinste ${}i$ derart, dass ${}2i>{\frac {p-1}{2}}$ ist, gleich ${}{\frac {p-1}{4}}+{\frac {1}{2}}$, und es gibt insgesamt

${}{\frac {p-1}{2}}-{\left({\frac {p-1}{4}}+{\frac {1}{2}}\right)}+1={\frac {p-1}{4}}+{\frac {1}{2}}={\frac {p+1}{4}}\,$

solche ${}i$. Diese Anzahl ist bei ${}p=3\mod 8$ ungerade und bei ${}p=7\mod 8$ gerade, was die Behauptung in diesen Fällen ergibt.

$\Box$