Rage Cage: der Wurf

Modellierungsthema und Zielsetzung

Wie muss der Wurf eines Tischtennisballs sein, um einen erfolgreichen Wurf durchzuführen.

Einführung

Rage Cage ist ein Gesellschaftsspiel, welches man am besten mit einer großen Spieleranzahl spielen soll (ca. 7 Personen). Ziel ist es, das Plastikbecher A Plastikbecher B einholt oder andersrum. Die Plastikbecher befinden sich jeweils auf dem Tisch und gegenüber von einander (bzw. sind diese so platziert dass sie jeweils den höchstmöglichsten Weg zurücklegen müssen um den anderen zu überholen). Ein Plastikbecher kann nur bewegt werden, in dem man einen Tischtennisball auf eine Tischplatte prellt und der Ball danach in die Öffnung des Bechers landet. Falls dies nicht geschieht muss der Spieler es weiter probieren, bis der Tischtennisball durch prellen in den Becher landet. Falls der Tischtennisball durch das prellen in den Becher landet darf der Spieler den Becher den Spieler zu seiner Linken weiterreichen. Falls Plastikbecher A Plastikbecher B eingeholt hat (oder andersrum) und ein Spieler zwei Becher gleichzeitig hätte, muss der einholende Becher in den eingeholten Becher reingesteckt werden und das Ziel des Spiels ist erreicht.

Es gibt zu dem einen "perfekten Wurf". Dies wäre der Fall in dem man beim ersten Versuch den Ball in den Becher befördert. In diesem Fall darf der Spieler mit dem "perfekten Wurf" Plastikbecher beliebig hinstellen (außer direkt in den Plastikbecher B).

IdR. ist der Spielmodus "jeder gegen jeden" bemerkt man jedoch, dass man einen Anfänger im Spiel hat und dieser Probleme hat den Ball in den Becher zu befördern, bilden sich oft kleinere inoffizielle Teams, um dieser Person entweder zu helfen, in dem man ihm moralisch zu spricht oder Teams, welche versuchen mit "perfekten Würfen" den Ball hinter dem Anfänger zu platzieren, sodass er oft eingeholt wird und so mit oft verliert.

In der Regel wird während des Spiels Alkohol konsumiert bzw. der Verlierer muss zur Strafe konsumieren und es gibt kein Scoreboard.

Man kann aber auch alkoholfreie Getränke konsumieren.

Durch das zusammenspielen von mehreren Parteien werden demnach folgende SDG erfüllt:

Zu dem ist es im Leben gesundheitlich von Vorteil eine ausreichende Hand-Augen-Koordination zu besitzen. Dieses Spiel trainiert Timing des Loslassens und die angemessene Wurfkraft des Tischtennisballs, um diese in den Becher zu befördern.

SDG 3: Good Health and Well-bein

Modellierungsthema

In der hier durchgeführten Modellierung sollen die Faktoren eines erfolgreichen Wurfes behandelt werden. Hier wird vor allem der Winkel des abgeworfenen Balls und das ballistische Verhalten des Tischtennisballes analysiert.

Faktoren eines erfolgreichen Wurfes

Geschwindigkeit mit der man den Tischtennisball wirft
Höhe von dem der Tischtennisball abgeworfen wird
Elastizität des Tischtennisballs

Die Gemeinsamkeiten sind in dem Falle der Abwurf und das Verhalten des Balls während dem elastischen Stoß als auch in der Flugphase. Die Unterschiede wäre der Aspekt das der Ball in einen Becher landen muss. Wenn er also in einem bestimmten Winkel den Rand trifft fällt dieser eventuell wieder heraus.

Niveau Überblick

Sek I

- Pythagoras

- Trigonometrie

Sek II

- Kurvendiskussion

- Parabel

- Winkelberechnung

- Parabelschar

Uni-Niveau

- Differential Gleichung

Feste Faktoren

Der Ball

Durchmesser 4 cm

Gewicht 2,7 g

Der Becher

Höhe 10,6 cm

Öffnung Durchmesser 9,6 cm

Abstand vom Spieler zum Becher

Abstand 30 cm

Modellierungszyklen

SEK I

Zyklus 1

Ermittlung des flachsten Einfallswinkels des Balls.

Wir betrachen den Winkel eines direkten Treffers.

Hier nehmen wir die Trigonometrie zu Hilfe.

Man besitzt den Durchmesser des Balls und verwendet diese als eine der Katheten und verwendet die Öffnung des Bechers als Hypotenuse.

$arcsin({\frac {4}{9,6}})\approx 24,6^{\circ }$

Mithilfe Geogebra wird das Problem visualisiert.

Zyklus 2

Im zweiten Zyklus wird ermittelt, wie weit der Ball vom Mittelpunkt des Bechers abweichen darf.

Dies finden wir zunächst heraus, indem wir vom Radius des Korbes den Radius des Balls subtrahieren.

Also

$9,6cm-4cm=5,6cm$

Wie beinflusst dies nun den Wurf?

Von oben betrachtet kann man eine gerade Linie zwischen dem Werfer und der Bechermitte ziehen. Wir wollen nun bestimmen, um wie viel Grad der Wurf von dieser idealen Linie abweichen kann.

Den Abweichungswinkel zur optimalen Linie erhalten wir folglich aus dem Arcustangens der beiden Katheten.

$arctan(5,6/30)\approx 10,57^{\circ }$

Somit kann man mit einer Abweichung von ca 10,57° immer noch den Becher treffen.

Sek II

Vorüberlegung

Gegeben:

Abstand des Bechers 30 cm

Höhe des Bechers 10,6 cm

Aufprallpunkt 10 cm (Zyklus 2 beliebig)

Abwurfhöhe 15 cm

1. Zyklus

Wir besitzen durch die Vorraussetzungen drei Argumente (Position des Bechers, Position des Aufpralls, Eintrittswinkel in den Becher), um die Kurve nach dem Aufprall zu beschreiben.

Danach besitzt man Information zum Austrittswinkel und somit auch den Eintrittswinkel des Balls (wir gehen davon aus, dass Eintrittswinkel = Austrittswinkel).

Anschließend besitzt man zusätzlich drei Argumente (Eintrittswinkel des Aufpralls, Abwurfposition, Position des Aufpralls), um die Kurve vor dem Aufprall zu beschreiben.

2. Zyklus

Wir berechnen die Winkel und Kurven in Abhängigkeit des Aufprallpunktes

Zyklus 1

Hier geben wir den Abstand (30 cm), die Höhe des Bechers (10,6 cm),den ersten Aufprallpunkt (10 cm), als auch die Abwurfhöhe (15 cm) an.

Des Weiteren übernehmen wir den minimalen Einfallswinkel aus dem vorherigen Modellierungszyklus.

Somit haben wir folgende Bedingungen gegeben, um 2 Kurven zu plotten.

Im Allgemeinen gilt $f(x)=ax^{2}+bx+c$ und $f'(x)=2ax+b$

und

Kurve nach dem Aufprall:

- $f(10)=0$

- $f(30)=10,6$

- $f'(30)=-tan(24,6)$

Somit erhalten wir folgendes Gleichungssystem

$I)f(10)=a*10^{2}+b*10+c=0$

$II)f(30)=a*30^{2}+b*30+c=10,6$

$III)f'(30)=2*a*30+b=-tan(24,6)$

Hier folgt nun

$a={\frac {-4939}{100000}}$

$b={\frac {1566}{625}}$

$c={\frac {-20117}{1000}}$

Somit erhaltet man die Funktionen

$f(x)={\frac {-4939}{100000}}x^{2}+{\frac {1566}{625}}x+{\frac {-20117}{1000}}$

und

$f'(x)=2*{\frac {-4939}{100000}}x+{\frac {1566}{625}}$

Nun müssen wir die Tangente an der Stelle

$f(10)=0$

bestimmen.

Somit gilt

$f'(10)=2*10*{\frac {-4939}{100000}}+{\frac {1566}{625}}\approx 1,52$

Somit beträgt der Abwurfwinkel

$\alpha =arctan(1,52)\approx 56,62^{\circ }$

Kurve vor dem Aufprall

- $f(0)=15$

- $f(10)=0$

- $f'(10)=-1,52$

somit erhält man folgendes Gleichungssystem

$I)f(0)=a*0^{2}+b*0+c=15$

$II)f(10)=a*10^{2}+b*10+c=0$

$III)f'(10)=2*10*a+b=-1,52$

Hier folgt nun

$a={\frac {-1}{500}}$

$b={\frac {-37}{25}}$

$c=15$

Somit erhält man die Funktion

$f(x)={\frac {-1}{500}}x^{2}+{\frac {-37}{25}}x+15$

und

$f'(x)={\frac {-2}{500}}x+{\frac {-37}{25}}$

Nun berechnet man die Steigung an der Stelle

$f(0)=15$

Also

$f'(0)={\frac {-37}{25}}$

Somit beträgt der Abwurfwinkel ca.

$\alpha =\arctan({\frac {-37}{25}})=-55,95^{\circ }$

Ergebnis
Abwurfwinkel	Eintrittswinkel in Becher	Funktion vor dem Aufprall	Funktion nach dem Aufprall	Eintrittswinkel/Austrittswinkel des Ball zum Zeitpunkt des Aufpralls
$-55,95^{\circ }$	$24,6^{\circ }$	$f(x)={\frac {-1}{500}}x^{2}+{\frac {-37}{25}}x+15$ $x=[0;10]$	$f(x)={\frac {-4939}{100000}}x^{2}+{\frac {1566}{625}}x+{\frac {-20117}{1000}}$ $x=[10;30]$	$56,62^{\circ }$

Zyklus 2

Im zweiten Zyklus variiert man den Auftreffpunkt des Balls mit. Somit erhält man folgende Informationen.

Abstand zwischen Abwurfpunkt und Becher (30 cm), Höhe des Bechers, den Aufprallpunkt $A=[10;15]cm$ (wurde so gewählt, sodass es noch realistisch wirkt), Abwurfhöhe 15 cm.

Der Eintrittswinkel ist immer noch wie in (SEK I) 24,6°

Zudem gilt wie oben allg. $f(x)=a*x^{2}+b*x+c$ und $f'(x)=2ax+b$

Daraus ergeben sich folgende Bedingungen

Kurve nach dem Aufprall

- $f(A)=0$

- $f(30)=10,6$

- $f(30)=-tan(24,6)$

somit erhaltet man folgendes Gleichungssystem

$I)f(A)=a*A^{2}+b*A+c=0$

$II)f(30)=a*30^{2}+b*30+c=10,6$

$III)f'(30)=a*60+b=-tan(24,6^{\circ })$

Hier folgt nun

$a={\frac {-5*A*(-tan(24,6))+150*(-tan(24,6))-53}{5*A^{2}-300*A+4500}}$

$b={\frac {A^{2}*(-tan(24,6))-900*(-tan(24,6))+636}{A^{2}-60*A+900}}$

$c={\frac {53*A^{2}-3180*A-150*A^{2}*(-tan(24,6))+4500*A*(-tan(24,6))}{5*A^{2}-300*A+4500}}$

Somit erhält man die Funktion(en)

$f(x)={\frac {-5*A*(-tan(24,6))+150*(-tan(24,6))-53}{5*A^{2}-300*A+4500}}*x^{2}+{\frac {A^{2}*(-tan(24,6))-900*(-tan(24,6))+636}{A^{2}-60*A+900}}*x+{\frac {53*A^{2}-3180*A-150*A^{2}*(-tan(24,6))+4500*A*(-tan(24,6))}{5*A^{2}-300*A+4500}}$ und

$f'(x)=2*{\frac {-5*A*(-tan(24,6))+150*(-tan(24,6))-53}{5*A^{2}-300*A+4500}}*x+{\frac {A^{2}*(-tan(24,6))-900*(-tan(24,6))+636}{A^{2}-60*A+900}}$

Um den Austrittswinkel zu bestimmen, muss man die Steigung an der Stelle A berechnen.

Also

$f'(A)=2*{\frac {-5*A*(-tan(24,6))+150*(-tan(24,6))-53}{5*A^{2}-300*A+4500}}*A+{\frac {A^{2}*(-tan(24,6))-900*(-tan(24,6))+636}{A^{2}-60*A+900}}$ $f'(A)={\frac {-300A*tan(24,6)-5A^{2}*tan(24,6)+10A^{2}*tan(24,6)+4500*tan(24,6)-106*A+3180}{5A^{2}-300A+4500}}$

$f'(A)={\frac {5A*tan(24,6)-150*tan(24,6)-106}{5(A-30)}}$

somit beträgt der Austrittswinkel/Eintrittswinkel

$\alpha =arctan({\frac {5A*tan(24,6)-150*tan(24,6)-106}{5(A-30)}})$

Kurve nach dem Aufprall

- $f(0)=15$

- $f(A)=0$

- $f'(A)=-({\frac {5A*tan(24,6)-150*tan(24,6)-106}{5(A-30)}})$

somit erhalten wir folgendes Gleichungssystem (wir ersetzen $-({\frac {5A*tan(24,6)-150*tan(24,6)-106}{5(A-30)}})$ mit Y)

$I)f(0)=a*0^{2}+b*0+c=15$

$II)f(A)=a*A^{2}+b*A+c=0$

$III)f'(A)=a*2A+b=Y$

Hier folgt nun

$a={\frac {A*Y+15}{A^{2}}}\rightarrow {\frac {A*(-({\frac {5A*tan(24,6)-150*tan(24,6)-106}{5(A-30)}}))+15}{A^{2}}}\rightarrow {\frac {-5*tan(24,6)*A^{2}+150*tan(24,6)A+181A-2250}{5A^{2}*(A-30)}}$

$b={\frac {-A*Y-30}{A}}\rightarrow {\frac {-A*(-({\frac {5A*tan(24,6)-150*tan(24,6)-106}{5(A-30)}}))-30}{A}}\rightarrow {\frac {5*tan(24,6)*A^{2}-150*tan(24,6)A-256A+4500}{5A*(A-30)}}$

$c=15$

Somit lautet die Funktion

$f(x)={\frac {-5*tan(24,6)*A^{2}+150*tan(24,6)A+181A-2250}{5A^{2}*(A-30)}}*x^{2}+{\frac {5*tan(24,6)*A^{2}-150*tan(24,6)A-256A+4500}{5A*(A-30)}}+15$

und

$f'(x)=2*{\frac {5*tan(24,6)*A^{2}-150*tan(24,6)A-31A-2250}{5A^{2}*(A-30)}}*x+{\frac {5*tan(24,6)*A^{2}-150*tan(24,6)A-256A+4500}{5A*(A-30)}}$

Um den Abwurfwinkel zu bestimmen muss man an die Steigung an der Stelle 0 berechnen.

$f'(0)={\frac {5*tan(24,6)*A^{2}-150*tan(24,6)A-256A+4500}{5A*(A-30)}}$

Somit beträgt der Abwurfwinkel folgendermaßen

$\alpha =\arctan({\frac {5*tan(24,6)*A^{2}-150*tan(24,6)A-256A+4500}{5A*(A-30)}})$

Ergebnis
Abwurfwinkel	Eintrittswinkel in Becher	Eintrittswinkel/Austrittswinkel vor und nach dem Aufprall	Aufprallort
$\alpha =\arctan({\frac {5tan(24,6)A^{2}-150tan(24,6)A-256A+4500}{5A(A-30)}})$	$24,6^{\circ }$	$\beta =arctan({\frac {5Atan(24,6)-150tan(24,6)-106}{5(A-30)}})$	$A=[10;15]$


Funktion vor Aufprall
$f(x)={\frac {-5tan(24,6)A^{2}+150tan(24,6)A+181A-2250}{5A^{2}(A-30)}}x^{2}+{\frac {5tan(24,6)A^{2}-150tan(24,6)A-256A+4500}{5A*(A-30)}}+15$ $x=[0;A]$


Funktion nach Aufprall
$f(x)={\frac {-5A(-tan(24,6))+150(-tan(24,6))-53}{5A^{2}-300A+4500}}x^{2}+{\frac {A^{2}(-tan(24,6))-900(-tan(24,6))+636}{A^{2}-60A+900}}x+{\frac {53A^{2}-3180A-150A^{2}(-tan(24,6))+4500A(-tan(24,6))}{5A^{2}-300A+4500}}$ $x=[A;30]$

Uni-Niveau

Ansatz

Was ist die minimale Geschwindigkeit, sodass dennoch ein erfolgreicher Wurf zustande kommt.
Da wir einen Aufprall in dem Spiel besitzen, müssen wir zwei schräge Würfe betrachten mit verschiedenen "Abwurfgeschwindigkeiten".
Je nach Modell werden verschiedene Kräfte angenommen, die auf den Tischtennisball einwirken.
Der Aufprallpunkt (10-20 cm), die Höhe des Abwurfs (15 cm) und der Standpunkt des Bechers (30 cm) werden fest gelegt.

Der schräge Wurf

Wir spalten die Richtungskomponenten in zwei Teilrichtungen auf.

horizontal: $v_{x0}=v_{0}*cos(\alpha )$

vertikal: $v_{y0}=v_{0}*sin(\alpha )$

Daraus ergeben sich folgende Ortskomponenten:

horizontal: $x(t)=v_{0}t*cos(\alpha )$
vertikal: $y(t)=v_{0}t*sin(\alpha )-{\frac {g}{2}}t^{2}+y_{0}$

Demnach lautet die vektorielle Bahngleichung

${\vec {r}}(t)={\binom {x(t)}{y(t)}}={\binom {v_{0}t*cos(\alpha )}{y_{0}+v_{0}t*sin(\alpha )-{\frac {g}{2}}t^{2}}}$

Nun lösen wir die horizontale Ortsgleichung nach t auf und erhalten somit

$t={\frac {x}{v_{0}cos(\alpha )}}$

Nun setzen wir $t$ in die vertikale Ortsgleichung ein, um die explizite Bahngleichung im Ortsraum zu erhalten

$y(x)=v_{0}({\frac {x}{v_{0}cos(\alpha )}})sin(\alpha )-{\frac {g}{2}}({\frac {x}{v_{0}cos(\alpha )}})^{2}\Longleftrightarrow y(x)=({\frac {x}{cos(\alpha )}})sin(\alpha )-{\frac {g}{2v_{0}^{2}cos(\alpha )^{2}}}x^{2}\Longleftrightarrow y(x)=x*tan(\alpha )-{\frac {g}{2v_{0}^{2}cos(\alpha )^{2}}}x^{2}+y_{0}$

Also

$y(x)=x*tan(\alpha )-{\frac {g}{2v_{0}^{2}cos(\alpha )^{2}}}x^{2}+y_{0}$

Wir wollen ebenfalls in unserem Modell die Abwurfgeschwindigkeit optimieren. Deswegen stellen wir unsere $y(x)$ - Gleichung auf $v$ um:

${\frac {g}{2v_{0}^{2}cos(\alpha )^{2}}}x^{2}=x*tan(\alpha )+y_{0}-y\Longleftrightarrow {\frac {1}{2v_{0}^{2}cos(\alpha )^{2}}}={\frac {x*tan(\alpha )+y_{0}-y}{gx^{2}}}\Longleftrightarrow {\frac {1}{v_{0}^{2}}}={\frac {tan(\alpha )+{\frac {y_{0}-y}{x}}}{gx}}*2cos(\alpha )^{2}\Longrightarrow v_{0}={\sqrt {\frac {gx}{2cos(\alpha )^{2}(tan(\alpha )+{\frac {y_{0}-y}{x}})}}}$

Also

$v_{o}={\sqrt {\frac {gx}{2cos(\alpha )^{2}(tan(\alpha )+{\frac {y_{0}-y}{x}})}}}$

Somit besitzen wir folgende Formeln


explizite Bahnkurve (vor dem Aufprall)	Abwurfgeschwindigkeit (vor dem Aufprall)
$y(x_{1})=x_{1}*tan(\alpha )-{\frac {g}{2v_{0}^{2}cos(\alpha )^{2}}}x_{1}^{2}+y_{0}$	$v_{o}={\sqrt {\frac {gx_{1}}{2cos(\alpha )^{2}(tan(\alpha )+{\frac {y_{0}-y}{x_{1}}})}}}$

Die Größe der Spieler variiert hier zwischen 150 cm und 200 cm

Verhalten nach dem Aufprall

Durch mehrere Versuche mithilfe von Kameras konnte bemessen werden, dass der Ball nur die Hälfte der ursprünglichen Höhe besessen hat.

Somit lässt sich aus elementaren Berechnungen voraussagen, dass die Gesamtgeschwindigkeit des Balls nach dem Aufprall um ebenfalls die Hälfte verringert.


Abwurfgeschwindigkeit nach dem Aufprall
$v_{o}*0,5={\sqrt {\frac {gx_{2}}{2cos(\alpha )^{2}(tan(\alpha )+{\frac {-y}{x_{2}}})}}}$

Formt man dies nun nach y um, erhält man folgende Gleichungen:

$v_{o}*0,5={\sqrt {\frac {gx_{2}}{2cos(\alpha )^{2}(tan(\alpha )+{\frac {-y}{x_{2}}})}}}\Longrightarrow {\frac {v_{0}}{4}}={\frac {gx_{2}}{2cos(\alpha )^{2}(tan(\alpha )+{\frac {-y}{x_{2}}})}}\Longrightarrow {\frac {2}{v_{0}}}={\frac {cos(\alpha )^{2}(tan(\alpha )+{\frac {-y}{x_{2}}})}{gx_{2}}}\Longrightarrow {\frac {2}{v_{0}*cos(\alpha )^{2}}}gx_{2}=tan(\alpha )+{\frac {-y}{x_{2}}}\Longrightarrow y(x_{2})=-{\frac {2gx_{2}}{v_{0}*cos(\alpha )^{2}}}+tan(\alpha )*x_{2}$


explizite Bahnkurve nach dem Aufprall
$y(x_{2})=-{\frac {2g}{v_{0}cos(\alpha )^{2}}}x_{2}+tan(\alpha )x_{2}$

Weitere Faktoren könnte man beachten

Magnus-Effekt

Beim Magnus-Effekt wird der Drall des Balls mitberücksichtigt,da dieser die Flugkurve verändern kann.

Durchmesser des Balls

Der Durchmesser des Balls wurde hier nicht berücksichtigt. Man ginge in der Simulation davon aus, dass der Ball ein Punkt ist. Jedoch hat der einen Durchmesser den man mitbeachten müsste.

Beschaffenheit des Tisches

Nicht jeder Tisch ist gleich! Es kann sein das Kunststofftische anderes federn als Stein oder Holztische. Man könnte das Verhalten des Balls anhand Versuchen auf mehreren Medien simulieren und das Verhalten dokumentieren.