Reelle Funktion/Indikatorfunktion nichtnegativ/Unstetig/Beispiel

Wir betrachten die Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

mit

${}f(x)={\begin{cases}0,{\text{ falls }}x<0\,,\\1,{\text{ falls }}x\geq 0\,.\end{cases}}\,$

Diese Funktion ist im Nullpunkt ${}0$ nicht stetig. Für ${}\epsilon ={\frac {1}{2}}$ und jedes beliebige positive ${}\delta$ gibt es nämlich negative Zahlen ${}x'$ mit ${}d(0,x')=\vert {x'}\vert \leq \delta$. Für diese ist aber ${}d(f(0),f(x'))=d(1,0)=1\not \leq {\frac {1}{2}}$.