Reelle Funktion/Taylor-Formel/(n+1)-mal stetig differenzierbar/Lagrange/Fakt/Beweis

Beweis

Sei ${}x\neq a$ fixiert. In Anlehnung an die zu beweisende Aussage betrachten wir zu ${}r\in \mathbb {R}$ den Ausdruck

$g_{r}(u):=f(x)-f(u)-f'(u)\cdot (x-u)-{\frac {f^{(2)}(u)}{2!}}(x-u)^{2}-\ldots -{\frac {f^{(n)}(u)}{n!}}(x-u)^{n}-{\frac {r}{(n+1)!}}(x-u)^{n+1}\,,$

den wir als Funktion in ${}u\in I$ auffassen. Es ist ${}g_{r}(x)=0$ und wir wählen ${}r$ so, dass ${}g_{r}(a)=0$ ist, was möglich ist. Die Funktion

${}g(u):=g_{r}(u)\,$

ist auf dem Teilintervall ${}{]a,x[}\subseteq I$ (bzw. $]x,a[$, falls ${}x<a$ ist.) differenzierbar (nach ${}u$) und besitzt an den beiden Intervallgrenzen den Wert ${}0$. Nach dem Satz von Rolle gibt es ein ${}c\in {]a,x[}$ mit ${}g'(c)=0$.

Aufgrund der Produktregel und der Kettenregel ist (Ableitung nach ${}u$)

${\left({\frac {f^{(k)}(u)}{k!}}(x-u)^{k}\right)}'={\frac {f^{(k+1)}(u)}{k!}}(x-u)^{k}-{\frac {f^{(k)}(u)}{(k-1)!}}(x-u)^{k-1}\,.$

Daher heben sich in der Ableitung von ${}g$ die meisten Terme weg und es ergibt sich

${}g'(u)=-{\frac {f^{(n+1)}(u)}{n!}}(x-u)^{n}+{\frac {r}{n!}}(x-u)^{n}\,.$

Aus der Gleichung

${}0=g'(c)=-{\frac {f^{(n+1)}(c)}{n!}}(x-c)^{n}+{\frac {r}{n!}}(x-c)^{n}\,$

folgt ${}r=f^{(n+1)}(c)$. Wenn wir dies und ${}u=a$ in die Anfangsgleichung einsetzen und ${}g_{r}(a)=0$ ausnutzen, so ergibt sich die Behauptung.

Zur bewiesenen Aussage