Beweis
Es sei zuerst 
kein Intervall. Wenn leer ist, so ist nach Definition nicht zusammenhängend. Es sei also
,
aber kein Intervall. Dann gibt es nach
Aufgabe
und
mit
-
Dann ist die Menge
-
![{\displaystyle {}A=T\cap {]{-\infty },y[}=T\cap {]{-\infty },y]}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cad5d969fcaa73c6a59cb37664b5bdaee6b9f1b2)
sowohl
offen
als auch
abgeschlossen
in , da man 
sowohl als Durchschnitt von mit einem offenen Intervall als auch als Durchschnitt mit einem abgeschlossenen Intervall schreiben kann. Wegen
und 
ist sie weder
noch ,
also ist nicht zusammenhängend.
Es sei nun ein nichtleeres Intervall und
sei angenommen, dass es eine Teilmenge
mit
gibt, die in sowohl offen als auch abgeschlossen sei. Es sei
und
, 
.
Wir betrachten das
(abgeschlossene und beschränkte)
Intervall
![{\displaystyle {}I=[x,y]\subseteq T}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa012ec7b136da410e9d9fb1964dcdcdbd143059)
(ohne Einschränkung sei
)
und setzen
![{\displaystyle {}A'=A\cap [x,y]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f11769f969bbf95786286f343972b6337b848f0)
.
Dies ist eine in 
offene und abgeschlossene Teilmenge von , die wegen
nicht leer ist und wegen
nicht ganz ist. D.h., es genügt, die Behauptung für ein abgeschlossenes und beschränktes Intervall
![{\displaystyle {}I=[x,y]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1481b5d1b2872c33612f1bd1b2878fa49d53d21c)
zu zeigen und können davon ausgehen, dass es eine offene und abgeschlossene Teilmenge mit
und
gibt. Wir betrachten die reelle Zahl
,
die wegen
Fakt
existiert. Da ein abgeschlossenes Intervall vorliegt, gehört 
zu und aufgrund von
Fakt
ist
.
Da aber auch offen in ist, gibt es ein
mit
![{\displaystyle {}[s-\delta ,s+\delta ]\cap I\subseteq A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6364ac2a5ee3c4401676ec42a9854c3edef1cca1)
.
Da das Supremum von ist, folgt
. Dies ist ein Widerspruch zu
.
