Reelle Zahlen/Vervollständigung von Q/Beispiel

Wir konstruieren, ausgehend von den rationalen Zahlen ${}\mathbb {Q}$, einen vollständigen archimedisch angeordneten Körper, also ein Modell für den Körper der reellen Zahlen. Es sei

${}C={\left\{{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\mid {\text{Cauchy-Folge in }}\mathbb {Q} \right\}}\,$

die Menge aller Cauchy-Folgen mit rationalen Gliedern. Wir definieren in ${}C$ eine Relation durch

${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\sim {\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} },{\text{ falls }}{\left(x_{n}-y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }{\text{ eine Nullfolge ist}}.$

Dies ist eine Äquivalenzrelation, siehe Aufgabe. Wir definieren nun die Quotientenmenge unter dieser Relation als reelle Zahlen, also

${}\mathbb {R} =C/\sim \,.$

Unter dieser Identifzierungsabbildung werden also alle Nullfolgen zu null gemacht, und zwei rationale Folgen werden miteinander identifiziert, wenn ihre Differenz eine Nullfolge ist. Wir schreiben die zugehörigen Äquivalenzklassen als ${}[{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }]$.

Auf ${}C$ gibt es die gliedweise Addition und Multiplikation. Auf der Quotientenmenge führt dies zum Ansatz

$[{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }]+[{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }]:=[{\left(x_{n}+y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }]{\text{ und }}[{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }]\cdot [{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }]:=[{\left(x_{n}\cdot y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }].$

Dies ergibt eine wohldefinierte Addition und Multiplikation auf ${}\mathbb {R}$, siehe

Aufgabe. Durch die konstanten Folgen zu einer rationalen Zahl ${}q\in \mathbb {Q}$ ergibt sich eine Abbildung

$\mathbb {Q} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,q\longmapsto (q)_{n\in \mathbb {N} },$

die mit der Addition und der Multiplikation verträglich ist. Mit diesen Operationen und mit ${}0$ und ${}1$ (also der konstanten Nullfolge und der konstanten Einsfolge) ist ${}\mathbb {R}$ ein Körper, siehe Aufgabe. Für jede Cauchy-Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gilt die ausschließende Alternative: ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ist eine Nullfolge, oder es gibt ein ${}q>0$ mit ${}x_{n}\geq q$ für fast alle ${}n\in \mathbb {N}$, oder es gibt ein ${}q<0$ mit ${}x_{n}\leq q$ für fast alle ${}n\in \mathbb {N}$. Darauf aufbauend kann man ${}\mathbb {R}$ in null, in positve und in negative reelle Zahlen einteilen bzw. eine (totale) Ordnungsrelation darauf definieren. Damit wird ${}\mathbb {R}$ zu einem angeordneten Körper, der auch archimedisch ist, siehe Aufgabe. In einem letzten Schritt kann man zeigen, dass ${}\mathbb {R}$ auch vollständig ist, siehe Aufgabe.