Reguläre Punkte(x,y) nach (y^2 durch x,y^3 durch x^2)/Differential der Umkehrabbildung zu (1,2)/Aufgabe

Wir betrachten die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} \setminus \{0\}\times \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y)\longmapsto \left({\frac {y^{2}}{x}},\,{\frac {y^{3}}{x^{2}}}\right).$

a) Bestimme die regulären Punkte der Abbildung ${}\varphi$.

b) Zeige, dass ${}\varphi$ in ${}P=(1,2)$ lokal eine differenzierbare Umkehrabbildung ${}\psi =\varphi ^{-1}$ besitzt, und bestimme das totale Differential von ${}\psi$ im Punkt ${}\varphi (P)$.

c) Man gebe alle Punkte ${}Q\in \mathbb {R} \setminus \{0\}\times \mathbb {R}$ an, in denen ${}\varphi$ nicht lokal invertierbar ist.

Zur Lösung, Alternative Lösung erstellen