Reguläre Punkte(x,y) nach (y^2 durch x,y^3 durch x^2)/Differential der Umkehrabbildung zu (1,2)/Aufgabe/Lösung

a) Wir bestimmen die Jacobi-Matrix von ${}\varphi$, diese ist

$J={\begin{pmatrix}-{\frac {y^{2}}{x^{2}}}&2{\frac {y}{x}}\\-2{\frac {y^{3}}{x^{3}}}&3{\frac {y^{2}}{x^{2}}}\end{pmatrix}}.$

Die Determinante davon ist

$-3{\frac {y^{4}}{x^{4}}}+4{\frac {y^{4}}{x^{4}}}={\frac {y^{4}}{x^{4}}}.$

Dies ist ${}0$ genau dann, wenn ${}y=0$ ist, sodass die regulären Punkte genau die Punkte sind, deren ${}y$-Koordinate nicht ${}0$ ist.

b) Die Abbildung ist nach Teil a) im Punkt ${}P=(1,2)$ regulär, daher gibt es nach dem Satz über die Umkehrabbildung eine differenzierbare Umkehrabbildung ${}\psi$, die in einer offenen Umgebung von ${}\varphi (P)=(4,8)$ definiert ist. Das totale Differential von ${}\psi$ im Punkt ${}\varphi (P)$ ist die inverse Matrix zum totalen Differential von ${}\varphi$ in ${}P$, also invers zu

${\begin{pmatrix}-4&4\\-16&12\end{pmatrix}}.$

Die inverse Matrix dazu ist

${\frac {1}{16}}{\begin{pmatrix}12&-4\\16&-4\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {3}{4}}&-{\frac {1}{4}}\\1&-{\frac {1}{4}}\end{pmatrix}}.$

c) Für die Punkte ${}(x,y)$ mit ${}y\neq 0$ gibt es aufgrund des Satzes über die Umkehrabbildung lokal eine Umkehrabildung. Für einen Punkt ${}Q$ mit ${}y=0$ gibt es dagegen keine lokale Umkehrabbildung, da ein solcher Punkt auf der Geraden liegt, die die Faser über ${}(0,0)$ ist. Daher ist diese Abbildung in keiner offenen Umgebung von ${}Q$ injektiv.

Zur gelösten Aufgabe